Chapitre XVII. Polygones réguliers constructibles et nombres de Fermat
Démonstration. La caractéristique de K étant nulle, l’extension L/K est séparable.
Soit G = Gal(L/K) : on a |G| = 2 r , d’où, d’après le lemme (VII.4.1), G possède
une suite de composition
{1} = G r G r−1 . . . . G 0 = G
telle que |G i | = 2 r−i . Soit K i = Inv(G i ) : alors [K i+1 : K i ] = 2 et le résultat
découle du théorème (XVII.1.1).
XVII.2. Constructibilité des polygones réguliers
Définition XVII.2.1.
a) On appellera n-gone un polygone régulier à n côtés.
b) Un entier n est constructible si le n-gône est constructible à partir de
(0, 0) et (0, 1).
Le problème posé au début de ce chapitre est donc équivalent au suivant :
« Peut-on caractériser les entiers constructibles » ?
Première étape : Réduction aux entiers premiers
Lemme XVII.2.1.
(i) Tout diviseur d’un entier constructible est constructible.
(ii) Si m et n sont deux entiers constructibles tels que (m, n) = 1, alors l’entier
mn est constructible.
Démonstration. (i). Soient n un entier constructible et m un diviseur de n. On peut
faire une partition de l’ensemble des sommets d’un polygone régulier à n côtés par
des sous-ensembles de d = n/m sommets consécutifs et, en joignant le premier
sommet de chacun de ces sous-ensembles au premier sommet du sous-ensemble
adjacent, on obtient un polygone régulier à m côtés.
(ii). Si les entiers m et n sont premiers entre eux, d’après l’identité de Bezout,
il existe des entiers a et b tels que am + bn = 1, d’où
1
mn
= a
1
n
+ b
1
m
·
Donc, à partir des angles 2π/m et 2π/n, on peut construire l’angle 2π/mn.
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Démonstration. La caractéristique de K étant nulle, l’extension L/K est séparable.
Soit G = Gal(L/K) : on a |G| = 2 r , d’où, d’après le lemme (VII.4.1), G possède
une suite de composition
{1} = G r G r−1 . . . . G 0 = G
telle que |G i | = 2 r−i . Soit K i = Inv(G i ) : alors [K i+1 : K i ] = 2 et le résultat
découle du théorème (XVII.1.1).
XVII.2. Constructibilité des polygones réguliers
Définition XVII.2.1.
a) On appellera n-gone un polygone régulier à n côtés.
b) Un entier n est constructible si le n-gône est constructible à partir de
(0, 0) et (0, 1).
Le problème posé au début de ce chapitre est donc équivalent au suivant :
« Peut-on caractériser les entiers constructibles » ?
Première étape : Réduction aux entiers premiers
Lemme XVII.2.1.
(i) Tout diviseur d’un entier constructible est constructible.
(ii) Si m et n sont deux entiers constructibles tels que (m, n) = 1, alors l’entier
mn est constructible.
Démonstration. (i). Soient n un entier constructible et m un diviseur de n. On peut
faire une partition de l’ensemble des sommets d’un polygone régulier à n côtés par
des sous-ensembles de d = n/m sommets consécutifs et, en joignant le premier
sommet de chacun de ces sous-ensembles au premier sommet du sous-ensemble
adjacent, on obtient un polygone régulier à m côtés.
(ii). Si les entiers m et n sont premiers entre eux, d’après l’identité de Bezout,
il existe des entiers a et b tels que am + bn = 1, d’où
1
mn
= a
1
n
+ b
1
m
·
Donc, à partir des angles 2π/m et 2π/n, on peut construire l’angle 2π/mn.
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