XVII.1. Points constructibles
Les relations métriques dans le triangle rectangle ABC montrent que la longueur de OC est égale à
√
a.
Lemme XVII.1.3. Soient K le sous-corps de R engendré par les coordonnées d’un
ensemble fini P de points de R 2 contenant (0, 0) et (0, 1) et K(α)/K, (K(α) ⊂ R),
une extension de degré 2. Alors, tout point (x, y) ∈ R 2 tel que x ∈ K(α) et
y ∈ K(α) peut être construit à partir de P.
Démonstration. Le polynôme minimal de α s’écrit M α (X) = X 2 + bX + c, où
b, c ∈ K, d’où α =
−b
√
Δ
2 , avec Δ = b 2 − 4c. Puisque K(α) ⊂ R, Δ est positif et
(0, Δ) est constructible, d’après le lemme (XVII.1.1), donc aussi (0,
√
Δ), d’après
le lemme (XVII.1.2). Ainsi on peut construire (0, α) et, par conséquent, d’après
le lemme (XVII.1.1), tout point dont les coordonnées sont dans K(α).
Théorème XVII.1.1. Soit K le sous-corps de R engendré par les coordonnées d’un
ensemble fini P de points de R 2 contenant (0, 0) et (0, 1). Si α et β sont des
éléments d’une extension L/K, (L ⊂ R), telle que K = K 0 ⊂ K 1 ⊂ . . . ⊂ K r = L,
avec [K i+1 : K i ] = 2, 0 i r − 1, alors le point (α, β) est constructible à partir
de P.
Démonstration. On fait un raisonnement par récurrence sur r. Le lemme (XVII.1.1)
donne le cas r = 0 et le lemme (XVII.1.3) donne le passage du rang i au rang
i + 1.
Théorème XVII.1.2. Soit K le sous-corps de R engendré par les coordonnées d’un
ensemble fini P de points de R 2 contenant (0, 0) et (0, 1). Si α et β sont des
éléments d’une extension normale L/K, (L ⊂ R), telle que [L : K] = 2 r , alors le
point (α, β) est constructible à partir de P.
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Les relations métriques dans le triangle rectangle ABC montrent que la longueur de OC est égale à
√
a.
Lemme XVII.1.3. Soient K le sous-corps de R engendré par les coordonnées d’un
ensemble fini P de points de R 2 contenant (0, 0) et (0, 1) et K(α)/K, (K(α) ⊂ R),
une extension de degré 2. Alors, tout point (x, y) ∈ R 2 tel que x ∈ K(α) et
y ∈ K(α) peut être construit à partir de P.
Démonstration. Le polynôme minimal de α s’écrit M α (X) = X 2 + bX + c, où
b, c ∈ K, d’où α =
−b
√
Δ
2 , avec Δ = b 2 − 4c. Puisque K(α) ⊂ R, Δ est positif et
(0, Δ) est constructible, d’après le lemme (XVII.1.1), donc aussi (0,
√
Δ), d’après
le lemme (XVII.1.2). Ainsi on peut construire (0, α) et, par conséquent, d’après
le lemme (XVII.1.1), tout point dont les coordonnées sont dans K(α).
Théorème XVII.1.1. Soit K le sous-corps de R engendré par les coordonnées d’un
ensemble fini P de points de R 2 contenant (0, 0) et (0, 1). Si α et β sont des
éléments d’une extension L/K, (L ⊂ R), telle que K = K 0 ⊂ K 1 ⊂ . . . ⊂ K r = L,
avec [K i+1 : K i ] = 2, 0 i r − 1, alors le point (α, β) est constructible à partir
de P.
Démonstration. On fait un raisonnement par récurrence sur r. Le lemme (XVII.1.1)
donne le cas r = 0 et le lemme (XVII.1.3) donne le passage du rang i au rang
i + 1.
Théorème XVII.1.2. Soit K le sous-corps de R engendré par les coordonnées d’un
ensemble fini P de points de R 2 contenant (0, 0) et (0, 1). Si α et β sont des
éléments d’une extension normale L/K, (L ⊂ R), telle que [L : K] = 2 r , alors le
point (α, β) est constructible à partir de P.
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