Chapitre XVII. Polygones réguliers constructibles et nombres de Fermat
Le problème est maintenant de déterminer les points qui sont constructibles.
Lemme XVII.1.1. Soit P un sous-ensemble fini de points de R 2 contenant les points
(0, 0) et (1, 0). Si x et y appartiennent au sous-corps de R engendré par les coordonnées des points de P, le point (x, y) est constructible à partir de P.
Démonstration. Il est clair que, à partir de (0, 0) et (1, 0), on peut construire les
axes de coordonnées. De plus, se donner les points (0, x 0 ) et (0, y 0 ) est équivalent
à se donner le point (x 0 , y 0 ).
Pour démontrer le lemme il suffit de prouver que (0, x) et (0, y) étant donnés,
on peut construire les points (0, x + y), (0, x − y), (0, xy) et (0, x/y). En ce qui
concerne les points (0, x + y) et (0, x − y), c’est évident. Pour les points (0, xy) et
(0, x/y), considérons la figure ci-dessous :
E
(0, 0)
T
r
r r
r r
r r
r r
r r
r r r r
r r
r
r r
(0, y)
(1, 0)
r
r r
r r
r r
r r
r r
r r r r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
(u, 0)
(0, x)
Les triangles ((0, 0), (0, y), (1, 0)) et ((0, 0), (0, x), (u, 0)) sont semblables, d’où
u/x = 1/y, i.e. u = x/y. On peut donc construire le point (0, x/y). En prenant
x = 1, on obtient 1/y et en faisant la même construction, en remplacant y par
1/y, on obtient xy, d’où la construction du point (0, xy).
Lemme XVII.1.2. Si un point (0, a), avec a 0, est constructible, le point (0,
√ a)
est constructible.
Démonstration. Dans le dessin ci-dessous, les points A et B étant constructibles,
le demi-cercle est constructible.
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