XVII
POLYGONES RÉGULIERS
CONSTRUCTIBLES ET NOMBRES
DE FERMAT
On dit qu’un polygone régulier à n côtés est constructible, s’il est constructible
à la règle et au compas. Le problème que nous allons étudier dans ce chapitre est
le suivant : les polygones réguliers à n côtés sont-ils constructibles pour toute
valeur de n ? Sinon, peut-on caractériser les entiers n pour lesquels c’est possible ?
Il est clair que, à partir d’un polygone, on peut en construire d’autres par
certaines constructions géométriques simples. Par exemple, si on peut construire
un polygone régulier à n côtés, on peut construire un polygone régulier à 2n côtés,
au moyen des bissectrices des angles au centre.
Nous allons montrer comment la théorie de Galois permet de caractériser les
entiers n tels que les polygones réguliers à n côtés soient constructibles. Ces entiers
sont très fortement reliés aux nombres de Fermat.
Nous allons d’abord formaliser le problème, en précisant les notions introduites
dans le TR.XI.A auquel nous renvoyons le lecteur pour les définitions et résultats.
XVII.1. Points constructibles
Soient P un ensemble fini de points du plan euclidien, de coordonnées (x i , y i ),
et K le sous-corps de R engendré par les x i et y i . On sait que si un point (x, y)
est constructible à partir de P, alors [K(x) : K] = 2 p et [K(y) : K] = 2 q .
POLYGONES RÉGULIERS
CONSTRUCTIBLES ET NOMBRES
DE FERMAT
On dit qu’un polygone régulier à n côtés est constructible, s’il est constructible
à la règle et au compas. Le problème que nous allons étudier dans ce chapitre est
le suivant : les polygones réguliers à n côtés sont-ils constructibles pour toute
valeur de n ? Sinon, peut-on caractériser les entiers n pour lesquels c’est possible ?
Il est clair que, à partir d’un polygone, on peut en construire d’autres par
certaines constructions géométriques simples. Par exemple, si on peut construire
un polygone régulier à n côtés, on peut construire un polygone régulier à 2n côtés,
au moyen des bissectrices des angles au centre.
Nous allons montrer comment la théorie de Galois permet de caractériser les
entiers n tels que les polygones réguliers à n côtés soient constructibles. Ces entiers
sont très fortement reliés aux nombres de Fermat.
Nous allons d’abord formaliser le problème, en précisant les notions introduites
dans le TR.XI.A auquel nous renvoyons le lecteur pour les définitions et résultats.
XVII.1. Points constructibles
Soient P un ensemble fini de points du plan euclidien, de coordonnées (x i , y i ),
et K le sous-corps de R engendré par les x i et y i . On sait que si un point (x, y)
est constructible à partir de P, alors [K(x) : K] = 2 p et [K(y) : K] = 2 q .