Travaux pratiques
des entiers algébriques, constitué des nombres algébriques dont le polynôme minimal est à coefficients entiers. Le fait qu’il s’agit bien d’un anneau signifie que
le polynôme minimal d’une somme et d’un produit de deux entiers algébriques
est encore à coefficients entiers, ce que l’on peut démontrer en utilisant nos méthodes effectives de calcul dans les corps de nombres (TP.XII), ou encore par un
argument abstrait similaire à celui utilisé pour démontrer que les nombres algébriques forment un corps (voir [25], chapitre II). Les racines α i de P sont des
entiers algébriques, donc les F (α σ(1) , . . . , α σ(n) ) également, ainsi que les coefficients de Resolv F ;P . Comme ces coefficients sont de plus rationnels, on conclut
en remarquant que les seuls entiers algébriques de Q sont les éléments de Z.
Le calcul du groupe de Galois par la méthode des résolvantes est basé sur le
théorème suivant :
Théorème 3. Avec les notations précédentes, si Gal(P ) est contenu dans un conjugué de H alors R = Resolv F ;P a une racine rationnelle. Réciproquement, si R
n’a pas de racine multiple et si R a une racine rationnelle, alors Gal(P ) est un
sous-groupe d’un conjugué de H.
Appliquant ce résultat à H = A n , on obtient le critère déjà utilisé : à supposer
que le discriminant Δ(P ) soit non nul (i.e. si P n’a pas de racine multiple, ce qui
est le cas pour un polynôme irréductible), le groupe de Galois de P est contenu
dans A n (c’est une véritable inclusion, car A n est distingué) si et seulement si
Δ(P ) est un carré entier.
Démonstration. Quitte à remplacer F par τ (F ), avec τ ∈ S n , ce qui ne change pas
Resolv F ;P et revient juste à changer l’ordre des racines de P , on peut supposer
que Gal(P ) est contenu dans H (et non dans un conjugué de H). On a alors
σ(F ) = F pour tout σ ∈ Gal(P ), donc aussi
σ(F (α 1 , . . . , α n )) = σ(F )(α 1 , . . . , α n ) = F (α 1 , . . . , α n ).
Cela montre que F (α 1 , . . . , α n ) appartient à Q, d’où l’existence d’une racine rationnelle de R.
Réciproquement, quitte à changer F en τ (F ), on peut supposer que
F (α 1 , . . . , α n ) est rationnel, et donc que σ(F )(α 1 , . . . , α n ) = F (α 1 , . . . , α n )
pour tout σ ∈ Gal(P ). Supposons Gal(P ) non contenu dans H et soit
σ ∈ Gal(P ) − H. Alors (x − F ) et (x − σ(F )) sont deux facteurs distincts de
Resolv F,H , donc F (α 1 , . . . , α n ) est une racine double de Resolv F ;P , ce qui contredit l’hypothèse.
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des entiers algébriques, constitué des nombres algébriques dont le polynôme minimal est à coefficients entiers. Le fait qu’il s’agit bien d’un anneau signifie que
le polynôme minimal d’une somme et d’un produit de deux entiers algébriques
est encore à coefficients entiers, ce que l’on peut démontrer en utilisant nos méthodes effectives de calcul dans les corps de nombres (TP.XII), ou encore par un
argument abstrait similaire à celui utilisé pour démontrer que les nombres algébriques forment un corps (voir [25], chapitre II). Les racines α i de P sont des
entiers algébriques, donc les F (α σ(1) , . . . , α σ(n) ) également, ainsi que les coefficients de Resolv F ;P . Comme ces coefficients sont de plus rationnels, on conclut
en remarquant que les seuls entiers algébriques de Q sont les éléments de Z.
Le calcul du groupe de Galois par la méthode des résolvantes est basé sur le
théorème suivant :
Théorème 3. Avec les notations précédentes, si Gal(P ) est contenu dans un conjugué de H alors R = Resolv F ;P a une racine rationnelle. Réciproquement, si R
n’a pas de racine multiple et si R a une racine rationnelle, alors Gal(P ) est un
sous-groupe d’un conjugué de H.
Appliquant ce résultat à H = A n , on obtient le critère déjà utilisé : à supposer
que le discriminant Δ(P ) soit non nul (i.e. si P n’a pas de racine multiple, ce qui
est le cas pour un polynôme irréductible), le groupe de Galois de P est contenu
dans A n (c’est une véritable inclusion, car A n est distingué) si et seulement si
Δ(P ) est un carré entier.
Démonstration. Quitte à remplacer F par τ (F ), avec τ ∈ S n , ce qui ne change pas
Resolv F ;P et revient juste à changer l’ordre des racines de P , on peut supposer
que Gal(P ) est contenu dans H (et non dans un conjugué de H). On a alors
σ(F ) = F pour tout σ ∈ Gal(P ), donc aussi
σ(F (α 1 , . . . , α n )) = σ(F )(α 1 , . . . , α n ) = F (α 1 , . . . , α n ).
Cela montre que F (α 1 , . . . , α n ) appartient à Q, d’où l’existence d’une racine rationnelle de R.
Réciproquement, quitte à changer F en τ (F ), on peut supposer que
F (α 1 , . . . , α n ) est rationnel, et donc que σ(F )(α 1 , . . . , α n ) = F (α 1 , . . . , α n )
pour tout σ ∈ Gal(P ). Supposons Gal(P ) non contenu dans H et soit
σ ∈ Gal(P ) − H. Alors (x − F ) et (x − σ(F )) sont deux facteurs distincts de
Resolv F,H , donc F (α 1 , . . . , α n ) est une racine double de Resolv F ;P , ce qui contredit l’hypothèse.
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