Algèbre T1
Soit d n =
1i
Q(x) An .
11. Écrire une procédure resolvante:=proc(F,G) calculant Resolv F,G (et renvoyant un message d’erreur si le polynôme F invariant sous G n’est pas un
élément primitif de l’extension). On utilisera la commande cosets pour obtenir
des représentants du quotient S n /G. Prenant H = D 4 et F = sym D 4 (x 3
1 x 2
2 x 3 ),
calculer Resolv F,H et exprimer cette résolvante comme élément de Q(s)[x] (il
faudra développer le polynôme avant d’appliquer convert_sym, procédure qui
fonctionne encore si on l’applique à un élément de Q[x 1 , . . . , x n , x] et donne
de surcroît le résultat souhaité). On peut utiliser la commande collect(P,x)
pour soigner l’affichage.
Pour finir, écrire une procédure resolvante_f:=proc(f,G) calculant
Resolv sym G (f ),G , exprimée comme élément de Q(s)[x]. Tester avec f = x 1 x 2
et G = D 4 ; constater que l’on obtient une résolvante pour D 4 bien plus simple
qu’avec le précédent choix de F . Faire de même avec C 4 et V 4 , en essayant
d’obtenir un résultat aussi simple que possible.
Soit maintenant P un polynôme unitaire de Z[x] à racines simples α i .
Définition 2. On appelle H-résolvante de P relative à F le polynôme de Q[x]
obtenu à partir de la résolvante générale de H relative à F (qui est donc un
élément primitif de Q(x) H ) en remplaçant les x i par les α i , donc les s i par
les fonctions symétriques élémentaires en les α i , c’est-à-dire par (−1) i a n−i où
P =
n
i=1 a i x i (a n = 1). On note Resolv F ;P cette H-résolvante de P : le
stabilisateur de F dans S n est donc H et
Resolv F ;P =
σ∈Sn/H
(x − F (α σ(1) , . . . , α σ(n) )).
Par exemple, si H = A n et si l’on prend F = d n , alors Resolv F ;P = x 2 − Δ(P )
où Δ(P ) est le discriminant de P (cf. TR.IX.A). Le lecteur pourra vérifier, par
exemple avec les procédures que nous allons écrire, que la résolvante qui permet
de résoudre l’équation de degré 4 dans le TR.XVI.A est la D 4 -résolvante relative
à F = x 1 x 3 + x 2 x 4 , où D 4 = (1 2 3 4), (1 3) (attention, remplacer D 4 par un
conjugué modifie le résultat).
On remarque qu’une H-résolvante de P est à coefficients entiers (lorsque
F ∈ Z[x]). Afin d’expliquer pourquoi, nous avons besoin d’introduire l’anneau
424
Soit d n =
1i
Q(x) An .
11. Écrire une procédure resolvante:=proc(F,G) calculant Resolv F,G (et renvoyant un message d’erreur si le polynôme F invariant sous G n’est pas un
élément primitif de l’extension). On utilisera la commande cosets pour obtenir
des représentants du quotient S n /G. Prenant H = D 4 et F = sym D 4 (x 3
1 x 2
2 x 3 ),
calculer Resolv F,H et exprimer cette résolvante comme élément de Q(s)[x] (il
faudra développer le polynôme avant d’appliquer convert_sym, procédure qui
fonctionne encore si on l’applique à un élément de Q[x 1 , . . . , x n , x] et donne
de surcroît le résultat souhaité). On peut utiliser la commande collect(P,x)
pour soigner l’affichage.
Pour finir, écrire une procédure resolvante_f:=proc(f,G) calculant
Resolv sym G (f ),G , exprimée comme élément de Q(s)[x]. Tester avec f = x 1 x 2
et G = D 4 ; constater que l’on obtient une résolvante pour D 4 bien plus simple
qu’avec le précédent choix de F . Faire de même avec C 4 et V 4 , en essayant
d’obtenir un résultat aussi simple que possible.
Soit maintenant P un polynôme unitaire de Z[x] à racines simples α i .
Définition 2. On appelle H-résolvante de P relative à F le polynôme de Q[x]
obtenu à partir de la résolvante générale de H relative à F (qui est donc un
élément primitif de Q(x) H ) en remplaçant les x i par les α i , donc les s i par
les fonctions symétriques élémentaires en les α i , c’est-à-dire par (−1) i a n−i où
P =
n
i=1 a i x i (a n = 1). On note Resolv F ;P cette H-résolvante de P : le
stabilisateur de F dans S n est donc H et
Resolv F ;P =
σ∈Sn/H
(x − F (α σ(1) , . . . , α σ(n) )).
Par exemple, si H = A n et si l’on prend F = d n , alors Resolv F ;P = x 2 − Δ(P )
où Δ(P ) est le discriminant de P (cf. TR.IX.A). Le lecteur pourra vérifier, par
exemple avec les procédures que nous allons écrire, que la résolvante qui permet
de résoudre l’équation de degré 4 dans le TR.XVI.A est la D 4 -résolvante relative
à F = x 1 x 3 + x 2 x 4 , où D 4 = (1 2 3 4), (1 3) (attention, remplacer D 4 par un
conjugué modifie le résultat).
On remarque qu’une H-résolvante de P est à coefficients entiers (lorsque
F ∈ Z[x]). Afin d’expliquer pourquoi, nous avons besoin d’introduire l’anneau
424