Travaux pratiques
Écrire ensuite une procédure sym:=proc(G,P), utilisant action_poly et renvoyant
sym G (P ) =
g∈G
g(P ),
pour G un groupe de permutations défini par une commande permgroup. On
prendra soin d’afficher les résultats dans l’ordre croissant des monômes.
Par définition, sym G (P ) est invariant sous G. On veut savoir s’il y a
d’autres permutations laissant fixe P . Pour cela, écrire une procédure
invariant?:=proc(P,n,g) testant si P est laissé fixe par g ∈ S n , puis une procédure invariantG?:=proc(P,G) testant si P est invariant sous G (on notera
qu’il suffit de vérifier que P est laissé fixe par les générateurs de G). Enfin,
écrire une procédure stab:=proc(P,n) calculant le stabilisateur Stab Sn (P )
de P , c’est-à-dire renvoyant l’ensemble des éléments de S n laissant fixe P .
Tester sur des exemples de votre choix.
9. On transforme un polynôme f en les s i en un polynôme en les x i comme suit :
écrivant la procédure
>sym_elem:=proc(n) local P,S,i;
if n=1 then return({s[1]=x[1]});
else P:=collect(expand(mul(x+x[i],i=1..n)),x);
return({seq(s[i]=coeff(P,x,n-i),i=1..n)});
fi;
end:
la conversion s’effectue via la commande subs(sym_elem(n),f). On désire
maintenant écrire une procédure convert_sym:=proc(P,n) effectuant la transformation inverse, c’est-à-dire exprimant un polynôme symétrique P en les
x i comme un polynôme en les s i . Le faire en remarquant que la preuve
de la proposition VIII.11.2 est de nature algorithmique. Il suffit donc de
l’implémenter : la procédure convert_sym sera de nature récursive (attention, il est nécessaire d’utiliser la conversion dans l’autre sens explicitée plus
haut dans l’un des deux appels récursifs). On pourra utiliser la commande
normal(P,mul(x[i],i=1..n)) pour effectuer la division de P par
n
i=1 x i .
10. On désire vérifier sur différents exemples que F = sym H (
n−1
i=1 x
n−i
i
) est
un élément primitif de Q(x) H /Q(s). Pour cela, il suffit de vérifier que
Stab Sn (F ) = H. En effet, on a alors Q(F ) = Q(x) Inv(Q(F )) = Q(x) H . Le
faire pour H = D 4 et C 4 puis le démontrer au papier-crayon pour tout H.
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Écrire ensuite une procédure sym:=proc(G,P), utilisant action_poly et renvoyant
sym G (P ) =
g∈G
g(P ),
pour G un groupe de permutations défini par une commande permgroup. On
prendra soin d’afficher les résultats dans l’ordre croissant des monômes.
Par définition, sym G (P ) est invariant sous G. On veut savoir s’il y a
d’autres permutations laissant fixe P . Pour cela, écrire une procédure
invariant?:=proc(P,n,g) testant si P est laissé fixe par g ∈ S n , puis une procédure invariantG?:=proc(P,G) testant si P est invariant sous G (on notera
qu’il suffit de vérifier que P est laissé fixe par les générateurs de G). Enfin,
écrire une procédure stab:=proc(P,n) calculant le stabilisateur Stab Sn (P )
de P , c’est-à-dire renvoyant l’ensemble des éléments de S n laissant fixe P .
Tester sur des exemples de votre choix.
9. On transforme un polynôme f en les s i en un polynôme en les x i comme suit :
écrivant la procédure
>sym_elem:=proc(n) local P,S,i;
if n=1 then return({s[1]=x[1]});
else P:=collect(expand(mul(x+x[i],i=1..n)),x);
return({seq(s[i]=coeff(P,x,n-i),i=1..n)});
fi;
end:
la conversion s’effectue via la commande subs(sym_elem(n),f). On désire
maintenant écrire une procédure convert_sym:=proc(P,n) effectuant la transformation inverse, c’est-à-dire exprimant un polynôme symétrique P en les
x i comme un polynôme en les s i . Le faire en remarquant que la preuve
de la proposition VIII.11.2 est de nature algorithmique. Il suffit donc de
l’implémenter : la procédure convert_sym sera de nature récursive (attention, il est nécessaire d’utiliser la conversion dans l’autre sens explicitée plus
haut dans l’un des deux appels récursifs). On pourra utiliser la commande
normal(P,mul(x[i],i=1..n)) pour effectuer la division de P par
n
i=1 x i .
10. On désire vérifier sur différents exemples que F = sym H (
n−1
i=1 x
n−i
i
) est
un élément primitif de Q(x) H /Q(s). Pour cela, il suffit de vérifier que
Stab Sn (F ) = H. En effet, on a alors Q(F ) = Q(x) Inv(Q(F )) = Q(x) H . Le
faire pour H = D 4 et C 4 puis le démontrer au papier-crayon pour tout H.
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