Algèbre T1
permutation σ. D’après la proposition VIII.11.2, le sous-corps des invariants sous
S n est le corps des fractions rationnelles Q(s) = Q(s 1 , . . . , s n ) en les fonctions
symétriques élémentaires s i en les x j , qui peuvent être définies par l’égalité
(x − x 1 ) . . . (x − x n ) = x
n
− s 1 x
n−1 + . . . + (−1)
n s n .
Le groupe de Galois de l’extension Q(x)/Q(s) est donc S n (théorème XIV.1.2).
Soit maintenant H un sous-groupe de S n . Il lui correspond un sous-corps
Q(x) H contenant Q(s). L’extension Q(x) H /Q(s) est de degré fini et admet donc
un élément primitif F .
Définition 1. Avec les notations précédentes, on appelle résolvante générale de
H relative à F le polynôme minimal de F sur Q(s). C’est un polynôme de
Q(s)[x] de degré [S n : H] qui vaut
Resolv F,H =
σ∈Sn/H
(x − σ(F )).
Il s’agit en fait d’une définition-proposition. Noter que le polynôme Resolv F,H
ci-dessus est bien défini car F est invariant sous H, donc σ(F ) a bien un sens : il
ne dépend que de la classe σ dans S n /H. Comme l’action de S n par translation à
gauche sur S n /H permute les différentes classes, on voit que Resolv F,H est stable
sous S n : c’est donc un élément de Q(s)[x]. Il est de degré [S n : H], qui est le
degré de l’extension Q(x) H /Q(s) puisque Q(x)/Q(x) H est de degré |H|.
☞ Quelques remarques concernant la manipulation des polynômes à plusieurs
indéterminées sous Maple : Définissant
P:=x[2]*x[3]^2+x[3]*x[1]+x[3]^2*x[1]+x[1]*x[4]
par exemple, la commande sort(P,[seq(x[i],i=1..4)],tdeg) permet de
trier les monômes selon le degré total suivi de l’ordre « lexicographique »
sur les monômes de même degré. Le degré total en les x i s’obtient par
degree(P,{seq(x[i],i=1..n)}). On effectue les substitutions x 1 ← x 2 ,
x 2 ← x 3 , x 3 ← x 1 , par exemple, par la commande subs comme suit :
subs({x[1]=x[2],x[2]=x[3],x[3]=x[1]},P). Pour tester l’égalité de deux polynômes, il est nécessaire de les mettre au préalable sous une forme permettant
la comparaison : par exemple sort(expand(P),[seq(x[i],i=1..4)],tdeg) (on
développe puis on ordonne).
8. Écrire une procédure action_poly:=proc(P,n,g) renvoyant g(P ), où
P ∈ Q[x] et g ∈ S n (on pourra utiliser la procédure image du TP.IV.B).
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permutation σ. D’après la proposition VIII.11.2, le sous-corps des invariants sous
S n est le corps des fractions rationnelles Q(s) = Q(s 1 , . . . , s n ) en les fonctions
symétriques élémentaires s i en les x j , qui peuvent être définies par l’égalité
(x − x 1 ) . . . (x − x n ) = x
n
− s 1 x
n−1 + . . . + (−1)
n s n .
Le groupe de Galois de l’extension Q(x)/Q(s) est donc S n (théorème XIV.1.2).
Soit maintenant H un sous-groupe de S n . Il lui correspond un sous-corps
Q(x) H contenant Q(s). L’extension Q(x) H /Q(s) est de degré fini et admet donc
un élément primitif F .
Définition 1. Avec les notations précédentes, on appelle résolvante générale de
H relative à F le polynôme minimal de F sur Q(s). C’est un polynôme de
Q(s)[x] de degré [S n : H] qui vaut
Resolv F,H =
σ∈Sn/H
(x − σ(F )).
Il s’agit en fait d’une définition-proposition. Noter que le polynôme Resolv F,H
ci-dessus est bien défini car F est invariant sous H, donc σ(F ) a bien un sens : il
ne dépend que de la classe σ dans S n /H. Comme l’action de S n par translation à
gauche sur S n /H permute les différentes classes, on voit que Resolv F,H est stable
sous S n : c’est donc un élément de Q(s)[x]. Il est de degré [S n : H], qui est le
degré de l’extension Q(x) H /Q(s) puisque Q(x)/Q(x) H est de degré |H|.
☞ Quelques remarques concernant la manipulation des polynômes à plusieurs
indéterminées sous Maple : Définissant
P:=x[2]*x[3]^2+x[3]*x[1]+x[3]^2*x[1]+x[1]*x[4]
par exemple, la commande sort(P,[seq(x[i],i=1..4)],tdeg) permet de
trier les monômes selon le degré total suivi de l’ordre « lexicographique »
sur les monômes de même degré. Le degré total en les x i s’obtient par
degree(P,{seq(x[i],i=1..n)}). On effectue les substitutions x 1 ← x 2 ,
x 2 ← x 3 , x 3 ← x 1 , par exemple, par la commande subs comme suit :
subs({x[1]=x[2],x[2]=x[3],x[3]=x[1]},P). Pour tester l’égalité de deux polynômes, il est nécessaire de les mettre au préalable sous une forme permettant
la comparaison : par exemple sort(expand(P),[seq(x[i],i=1..4)],tdeg) (on
développe puis on ordonne).
8. Écrire une procédure action_poly:=proc(P,n,g) renvoyant g(P ), où
P ∈ Q[x] et g ∈ S n (on pourra utiliser la procédure image du TP.IV.B).
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