Travaux pratiques
galois/absres:
The Galois group is probably one of
{"4T1"}
[...]
galois/respol:
Possible groups left:
{"4T1"}
Quel heuristique ou théorème se cache derrière ce scénario ? Nous allons maintenant y répondre.
Soit P(P, N ) l’ensemble des nombres premiers p N qui ne divisent pas le
discriminant de P . Pour p ∈ P(P, N ), on note t p (P ) = [n 1 , . . . , n r ] la partition de
n obtenue en décomposant P en irréductibles sur F p . Soit alors
μ N (t, P ) =
Card{p ∈ P(P, N ) tel que t p (P ) = t}
Card P(P, N )
et μ(t, P ) la proportion d’éléments de Gal(P ) qui sont de type t.
Théorème 2 (Chebotarev). Quand N tend vers l’infini, la proportion μ N (t, P ) tend
vers la proportion μ(t, P ).
Le lecteur particulièrement motivé pourra consulter [18] pour une preuve de
ce théorème remarquable mais difficile. Il s’agit d’une méthode probabiliste de
calcul du groupe de Galois, cependant les calculs menés jusqu’à un nombre fini
N ne peuvent servir de preuve du fait que le résultat attendu est le bon.
6. Écrire une procédure typeMod2:=proc(P,N) renvoyant la liste
[[t 1 , μ N (t 1 , P )], . . . , [t r , μ N (t r , P )]], où les t i sont les différents types de
S n . Comme le fait Maple, en prenant N = 31, deviner le résultat pour les
dix polynômes habituels (degrés 4 et 5).
7. Si d désigne le cardinal de G = Gal(P ) et d t le nombre d’éléments
de G de type t, alors dμ N (t, P ) tend vers l’entier d t . La partie entière
E(dμ N (t, P )) (commande round en Maple) de dμ N (t, P ) est donc constante
à partir d’un rang N assez grand, de valeur d t . Modifier typeMod2 en une
procédure typeMod3 renvoyant la liste [[t 1 , μ
N (t 1 , P )], . . . , [t r , μ
N (t r , P )]], où
μ
N (t, P ) = E(dμ N (t, P ))/d. Vérifier sur les exemples habituels que les résultats obtenus coïncident avec ceux de la question 4. Cela constitue une vérification expérimentale du théorème de Chebotarev.
La théorie des résolvantes
Soit Q(x) = Q(x 1 , . . . , x n ) le corps des fractions rationnelles en x 1 , . . . , x n .
Le groupe symétrique S n agit sur Q(x) par permutation des x i : on a donc
σ(f )(x 1 , . . . , x n ) = f (x σ(1) , . . . , x σ(n) ) pour toute fraction rationnelle f et toute
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galois/absres:
The Galois group is probably one of
{"4T1"}
[...]
galois/respol:
Possible groups left:
{"4T1"}
Quel heuristique ou théorème se cache derrière ce scénario ? Nous allons maintenant y répondre.
Soit P(P, N ) l’ensemble des nombres premiers p N qui ne divisent pas le
discriminant de P . Pour p ∈ P(P, N ), on note t p (P ) = [n 1 , . . . , n r ] la partition de
n obtenue en décomposant P en irréductibles sur F p . Soit alors
μ N (t, P ) =
Card{p ∈ P(P, N ) tel que t p (P ) = t}
Card P(P, N )
et μ(t, P ) la proportion d’éléments de Gal(P ) qui sont de type t.
Théorème 2 (Chebotarev). Quand N tend vers l’infini, la proportion μ N (t, P ) tend
vers la proportion μ(t, P ).
Le lecteur particulièrement motivé pourra consulter [18] pour une preuve de
ce théorème remarquable mais difficile. Il s’agit d’une méthode probabiliste de
calcul du groupe de Galois, cependant les calculs menés jusqu’à un nombre fini
N ne peuvent servir de preuve du fait que le résultat attendu est le bon.
6. Écrire une procédure typeMod2:=proc(P,N) renvoyant la liste
[[t 1 , μ N (t 1 , P )], . . . , [t r , μ N (t r , P )]], où les t i sont les différents types de
S n . Comme le fait Maple, en prenant N = 31, deviner le résultat pour les
dix polynômes habituels (degrés 4 et 5).
7. Si d désigne le cardinal de G = Gal(P ) et d t le nombre d’éléments
de G de type t, alors dμ N (t, P ) tend vers l’entier d t . La partie entière
E(dμ N (t, P )) (commande round en Maple) de dμ N (t, P ) est donc constante
à partir d’un rang N assez grand, de valeur d t . Modifier typeMod2 en une
procédure typeMod3 renvoyant la liste [[t 1 , μ
N (t 1 , P )], . . . , [t r , μ
N (t r , P )]], où
μ
N (t, P ) = E(dμ N (t, P ))/d. Vérifier sur les exemples habituels que les résultats obtenus coïncident avec ceux de la question 4. Cela constitue une vérification expérimentale du théorème de Chebotarev.
La théorie des résolvantes
Soit Q(x) = Q(x 1 , . . . , x n ) le corps des fractions rationnelles en x 1 , . . . , x n .
Le groupe symétrique S n agit sur Q(x) par permutation des x i : on a donc
σ(f )(x 1 , . . . , x n ) = f (x σ(1) , . . . , x σ(n) ) pour toute fraction rationnelle f et toute
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