Algèbre T1
– En degré 5, les sous-groupes transitifs (à conjugaison près) sont C 5 , D 5 , A 5 ,
S 5 et le groupe métacyclique M 20 . On a le diagramme d’inclusions :
M 20 ⊂ S 5
∪
∪
C 5 ⊂ D 5 ⊂ A 5
et la liste des types :
C 5 : [1, 1, 1, 1, 1], [5]
D 5 : [1, 1, 1, 1, 1], [1, 2, 2], [5]
A 5 : [1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 3], [1, 2, 2], [5]
M 20 : [1, 1, 1, 1, 1], [1, 2, 2], [1, 4], [5]
S 5 : [1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 2], [1, 1, 3], [1, 2, 2], [1, 4], [2, 3], [5].
5. On va appliquer deux tests : le premier permettant de vérifier si Gal(P ) est
inclus dans A n et l’autre donnant une liste de types présents dans Gal(P ). Il
s’agira alors de conclure quant aux différents groupes possibles pour Gal(P ).
Écrire une procédure testAn:=proc(P) renvoyant + ou − selon que Gal(P )
est un sous-groupe de A n ou non. On utilisera le critère du déterminant, admis
pour l’instant, et on pourra tester si un complexe z donné est un entier par la
commande Maple type(z,integer).
Écrire également une procédure typeMod:=proc(P,N) donnant la liste des
types obtenus par la méthode modulaire décrite précédemment, en prenant
les nombres premiers p jusqu’à N . Pour cela, on obtiendra les facteurs de P
par la commande Factors(P) mod p et on notera que la condition sur les racines de P dans la proposition 1 ci-dessus est équivalente à dire que p ne divise
pas le discriminant de P (cf. TP.IX.B).
Enfin, appliquer ces deux procédures aux dix polynômes de degrés 4 et 5 de
la liste figurant dans la première partie du TP. On donnera, pour chaque
cas, les différents groupes possibles et remarquera que les cas où ces deux tests
permettent de déterminer le groupe de Galois correspondent aux cas, relevés en
degré 4 dans la première partie, où Maple conclut sans calculer de résolvante.
Précisément, c’est le cas lorsque le groupe de Galois est A n ou S n , tous les
types finissant par apparaître en prenant des premiers suffisamment grands.
Il est suprenant de constater que Maple « devine » pourtant la réponse, au
vu des types obtenus modulo différents premiers p, et que cette réponse s’avère
correcte par la suite :
420
– En degré 5, les sous-groupes transitifs (à conjugaison près) sont C 5 , D 5 , A 5 ,
S 5 et le groupe métacyclique M 20 . On a le diagramme d’inclusions :
M 20 ⊂ S 5
∪
∪
C 5 ⊂ D 5 ⊂ A 5
et la liste des types :
C 5 : [1, 1, 1, 1, 1], [5]
D 5 : [1, 1, 1, 1, 1], [1, 2, 2], [5]
A 5 : [1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 3], [1, 2, 2], [5]
M 20 : [1, 1, 1, 1, 1], [1, 2, 2], [1, 4], [5]
S 5 : [1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 2], [1, 1, 3], [1, 2, 2], [1, 4], [2, 3], [5].
5. On va appliquer deux tests : le premier permettant de vérifier si Gal(P ) est
inclus dans A n et l’autre donnant une liste de types présents dans Gal(P ). Il
s’agira alors de conclure quant aux différents groupes possibles pour Gal(P ).
Écrire une procédure testAn:=proc(P) renvoyant + ou − selon que Gal(P )
est un sous-groupe de A n ou non. On utilisera le critère du déterminant, admis
pour l’instant, et on pourra tester si un complexe z donné est un entier par la
commande Maple type(z,integer).
Écrire également une procédure typeMod:=proc(P,N) donnant la liste des
types obtenus par la méthode modulaire décrite précédemment, en prenant
les nombres premiers p jusqu’à N . Pour cela, on obtiendra les facteurs de P
par la commande Factors(P) mod p et on notera que la condition sur les racines de P dans la proposition 1 ci-dessus est équivalente à dire que p ne divise
pas le discriminant de P (cf. TP.IX.B).
Enfin, appliquer ces deux procédures aux dix polynômes de degrés 4 et 5 de
la liste figurant dans la première partie du TP. On donnera, pour chaque
cas, les différents groupes possibles et remarquera que les cas où ces deux tests
permettent de déterminer le groupe de Galois correspondent aux cas, relevés en
degré 4 dans la première partie, où Maple conclut sans calculer de résolvante.
Précisément, c’est le cas lorsque le groupe de Galois est A n ou S n , tous les
types finissant par apparaître en prenant des premiers suffisamment grands.
Il est suprenant de constater que Maple « devine » pourtant la réponse, au
vu des types obtenus modulo différents premiers p, et que cette réponse s’avère
correcte par la suite :
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