Travaux pratiques
Théorème 1. Soient P ∈ Z[x] un polynôme unitaire à racines simples (dans C) et p
un nombre premier tels que la réduction P de P modulo p soit également à racines
simples (dans F p ), alors Gal(P ) est isomorphe à un sous-groupe de Gal(P ).
De plus, notant α i les n racines simples de P et reprenant les notations de la
preuve de ce théorème, l’application Gal(P ) → Gal(P ) associe à ¯
σ un élément σ
tel que ¯
σ ◦ φ = φ ◦ σ, où φ : A = Z[α i , 1 i n] → K p = F p (φ(α i ), 1 i n) et
P =
n
i=1 (x− φ(α i )). Avec ce choix de numérotation des racines de P (induite via
φ par la numérotation choisie pour P ), il est clair que ¯
σ et σ ont même type. En
fait, cela ne dépend pas de la numérotation, car un autre choix revient à conjuguer
la permutation, or le type est invariant par conjugaison.
Par ailleurs, on démontre (cf. exercice XV.4) :
Proposition 1. Soit P ∈ F p [x] un polynôme de degré n et P = P 1 . . . P r sa décomposition en irréductibles, chaque facteur étant supposé de multiplicité un. Notant
n i = deg P i (ordonnés par ordre croissant, quitte à changer l’ordre des facteurs),
alors Gal(P ) est engendré par un élément de type [n 1 , . . . , n r ].
En définitive, en choisissant des p convenables, on démontre l’existence dans
Gal(P ) d’éléments de certains types, et l’on compare les types obtenus à ceux
apparaissant dans la liste des groupes transitifs à conjugaison près. Comme on va
le voir sur des exemples, cela permet de conclure dans certains cas. Notamment,
on s’intéresse au cas des degrés 4 et 5 que nous détaillons ci-dessous.
– En degré 4, les sous-groupes transitifs (à conjugaison près) sont C 4 , D 4 , S 4 ,
V 4 Z/2Z × Z/2Z et A 4 . On a le diagramme d’inclusions :
C 4 ⊂ D 4 ⊂ S 4
∪
∪
V 4 ⊂ A 4
Avec les choix faits (cf. définition de ces groupes dans les remarques préliminaires), ce sont de véritables inclusions, mais puisque nous regardons les
groupes à conjugaison près, une inclusion G 1 ⊂ G 2 signifiera plutôt que G 1
est contenu dans un conjugué de G 2 (sous S 4 ). La liste des types sont :
C 4 : [1, 1, 1, 1], [2, 2], [4]
D 4 : [1, 1, 1, 1], [1, 1, 2], [2, 2], [4]
S 4 : [1, 1, 1, 1], [1, 1, 2], [1, 3], [2, 2], [4]
A 4 : [1, 1, 1, 1], [1, 3], [2, 2]
V 4 : [1, 1, 1, 1], [2, 2].
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Théorème 1. Soient P ∈ Z[x] un polynôme unitaire à racines simples (dans C) et p
un nombre premier tels que la réduction P de P modulo p soit également à racines
simples (dans F p ), alors Gal(P ) est isomorphe à un sous-groupe de Gal(P ).
De plus, notant α i les n racines simples de P et reprenant les notations de la
preuve de ce théorème, l’application Gal(P ) → Gal(P ) associe à ¯
σ un élément σ
tel que ¯
σ ◦ φ = φ ◦ σ, où φ : A = Z[α i , 1 i n] → K p = F p (φ(α i ), 1 i n) et
P =
n
i=1 (x− φ(α i )). Avec ce choix de numérotation des racines de P (induite via
φ par la numérotation choisie pour P ), il est clair que ¯
σ et σ ont même type. En
fait, cela ne dépend pas de la numérotation, car un autre choix revient à conjuguer
la permutation, or le type est invariant par conjugaison.
Par ailleurs, on démontre (cf. exercice XV.4) :
Proposition 1. Soit P ∈ F p [x] un polynôme de degré n et P = P 1 . . . P r sa décomposition en irréductibles, chaque facteur étant supposé de multiplicité un. Notant
n i = deg P i (ordonnés par ordre croissant, quitte à changer l’ordre des facteurs),
alors Gal(P ) est engendré par un élément de type [n 1 , . . . , n r ].
En définitive, en choisissant des p convenables, on démontre l’existence dans
Gal(P ) d’éléments de certains types, et l’on compare les types obtenus à ceux
apparaissant dans la liste des groupes transitifs à conjugaison près. Comme on va
le voir sur des exemples, cela permet de conclure dans certains cas. Notamment,
on s’intéresse au cas des degrés 4 et 5 que nous détaillons ci-dessous.
– En degré 4, les sous-groupes transitifs (à conjugaison près) sont C 4 , D 4 , S 4 ,
V 4 Z/2Z × Z/2Z et A 4 . On a le diagramme d’inclusions :
C 4 ⊂ D 4 ⊂ S 4
∪
∪
V 4 ⊂ A 4
Avec les choix faits (cf. définition de ces groupes dans les remarques préliminaires), ce sont de véritables inclusions, mais puisque nous regardons les
groupes à conjugaison près, une inclusion G 1 ⊂ G 2 signifiera plutôt que G 1
est contenu dans un conjugué de G 2 (sous S 4 ). La liste des types sont :
C 4 : [1, 1, 1, 1], [2, 2], [4]
D 4 : [1, 1, 1, 1], [1, 1, 2], [2, 2], [4]
S 4 : [1, 1, 1, 1], [1, 1, 2], [1, 3], [2, 2], [4]
A 4 : [1, 1, 1, 1], [1, 3], [2, 2]
V 4 : [1, 1, 1, 1], [2, 2].
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