Algèbre T1
Par exemple, le cas de x 4 −2 a été traité au chapitre XIV. Noter également que
Gal(x 6 + 12) a déjà été calculé au cours du TP.XIV, sachant que ce polynôme
est normal.
Pour la suite du TP, revenir à l’affichage standard en tapant :
infolevel[galois]:=0
Les méthodes modulaires
4. Nous avons besoin d’un préliminaire de théorie des groupes. On rappelle que
le type d’une permutation est la liste ordonnée des longueurs des cycles qui
figurent dans sa décomposition canonique (voir TP.II). Il s’agit de donner la
liste des différents types apparaissant dans chacun des groupes de permutations
G considérés (notamment les dix groupes correspondant aux degrés 4 et 5),
ainsi que la proportion d’éléments de chaque type.
Commencer par écrire une procédure listetypes:=proc(n) renvoyant les différents types possibles dans S n (Indication : On pourra écrire une procédure
récursive, puisqu’un type [i 1 , . . . , i r ] (avec
j i j = n) est tel que [i 2 , . . . , i r ] est
un type de S n−i 1 ).
☞ Pour soigner l’affichage et trier la liste de listes, on peut procéder comme
suit : On définit un ordre via la procédure
>ordre:=proc(a,b) local i;
for i from 1 to min(nops(a),nops(b))
do if a[i]<>b[i] then return(evalb(a[i]
if nops(a)<=nops(b) then return(true) else return(false); fi;
end:
puis sort([[1,3],[1,1,1,1],[1,1,2]],ordre) trie la liste selon l’ordre prescrit.
Écrire ensuite une procédure typesG:=proc(G) renvoyant, pour G ⊂ S n ,
un groupe de permutations défini par une commande permgroup, une liste
[[t 1 , q 1 ], . . . , [t r , q r ]], où les t i sont les différents types de S n et q i la proportion
d’éléments de type t i (ainsi
i q i = 1). On utilisera la procédure type écrite
au cours du TP.II. Appliquer enfin typesG à chacun des dix groupes.
Les méthodes modulaires sont basées sur le théorème XVI.2.3 que nous rappelons ci-dessous :
418
Par exemple, le cas de x 4 −2 a été traité au chapitre XIV. Noter également que
Gal(x 6 + 12) a déjà été calculé au cours du TP.XIV, sachant que ce polynôme
est normal.
Pour la suite du TP, revenir à l’affichage standard en tapant :
infolevel[galois]:=0
Les méthodes modulaires
4. Nous avons besoin d’un préliminaire de théorie des groupes. On rappelle que
le type d’une permutation est la liste ordonnée des longueurs des cycles qui
figurent dans sa décomposition canonique (voir TP.II). Il s’agit de donner la
liste des différents types apparaissant dans chacun des groupes de permutations
G considérés (notamment les dix groupes correspondant aux degrés 4 et 5),
ainsi que la proportion d’éléments de chaque type.
Commencer par écrire une procédure listetypes:=proc(n) renvoyant les différents types possibles dans S n (Indication : On pourra écrire une procédure
récursive, puisqu’un type [i 1 , . . . , i r ] (avec
j i j = n) est tel que [i 2 , . . . , i r ] est
un type de S n−i 1 ).
☞ Pour soigner l’affichage et trier la liste de listes, on peut procéder comme
suit : On définit un ordre via la procédure
>ordre:=proc(a,b) local i;
for i from 1 to min(nops(a),nops(b))
do if a[i]<>b[i] then return(evalb(a[i]
if nops(a)<=nops(b) then return(true) else return(false); fi;
end:
puis sort([[1,3],[1,1,1,1],[1,1,2]],ordre) trie la liste selon l’ordre prescrit.
Écrire ensuite une procédure typesG:=proc(G) renvoyant, pour G ⊂ S n ,
un groupe de permutations défini par une commande permgroup, une liste
[[t 1 , q 1 ], . . . , [t r , q r ]], où les t i sont les différents types de S n et q i la proportion
d’éléments de type t i (ainsi
i q i = 1). On utilisera la procédure type écrite
au cours du TP.II. Appliquer enfin typesG à chacun des dix groupes.
Les méthodes modulaires sont basées sur le théorème XVI.2.3 que nous rappelons ci-dessous :
418