Algèbre T1
12. Écrire une procédure resolvanteP:=proc(P,f,G), utilisant resolvante_f,
calculant Resolv F ;P où F
=
sym G (f ). Puis une procédure
test_resolvante:=proc(P,f,G) testant si Gal(P ) est un sous-groupe
d’un conjugué de G (et renvoyant un message d’erreur si la résolvante R
calculée possède un facteur carré). Les racines rationnelles de R s’obtiennent
avec la commande Maple roots.
Appliquer ce test aux cas de degré 4 qui n’ont pu être résolus par la méthode
modulaire. On remarquera que pour P = x 4 + 1 par exemple, l’une des deux
D 4 -résolvantes Resolv F ;P avec f = x 1 x 2 et f = x 3
1 x 2
2 x 3 permet de conclure,
mais pas l’autre.
On prend maintenant comme élément primitif F = sym H (
n−1
i=1 x
n−i
i
) dont on
sait qu’il donne une H-résolvante (à défaut de mieux, cas par cas). Écrire une
procédure test_resolvante2:=proc(P,G) calculant Resolv F ;P avec ce choix
pour F (on pourra même économiser la vérification de la primitivité de F et
réécrire également des procédures
resolvante2:=proc(G) et resolvante2P:=proc(P,G)).
Que donne ce test en degré 5 ? En fait, Maple met énormément de temps,
car les calculs formels pour la conversion en polynôme en les fonctions symétriques élémentaires sont coûteux. Pour y rémédier, on va utiliser des méthodes
numériques.
En effet, on a vu au TP.XI que Maple sait calculer des approximations numériques des racines complexes de P
(commande evalf(allvalues(RootOf(P))).
On remplace alors les α i par ces approximations dans la formule de la définition 2 (en prenant soin de garder cette forme factorisée lors de l’évaluation). De
plus, on sait que les coefficients de Resolv F ;P sont des entiers. En travaillant
avec un nombre suffisant N de chiffres significatifs (commande Digits:=N) et
en prenant la partie entière, on peut donc espérer (si le contrôle numérique est
bon) obtenir la résolvante souhaitée.
Écrire une procédure resolvante3P:=proc(P,G,N) calculant la résolvante
avec cette méthode, puis une procédure de test
test_resolvante3:=proc(P,G,N).
Traiter enfin le cas du degré 5.
13. On ne peut conclure que lorsque la résolvante ne possède pas de racine
double (rationnelle). Par exemple, 40 est racine double de la M 20 -résolvante de
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12. Écrire une procédure resolvanteP:=proc(P,f,G), utilisant resolvante_f,
calculant Resolv F ;P où F
=
sym G (f ). Puis une procédure
test_resolvante:=proc(P,f,G) testant si Gal(P ) est un sous-groupe
d’un conjugué de G (et renvoyant un message d’erreur si la résolvante R
calculée possède un facteur carré). Les racines rationnelles de R s’obtiennent
avec la commande Maple roots.
Appliquer ce test aux cas de degré 4 qui n’ont pu être résolus par la méthode
modulaire. On remarquera que pour P = x 4 + 1 par exemple, l’une des deux
D 4 -résolvantes Resolv F ;P avec f = x 1 x 2 et f = x 3
1 x 2
2 x 3 permet de conclure,
mais pas l’autre.
On prend maintenant comme élément primitif F = sym H (
n−1
i=1 x
n−i
i
) dont on
sait qu’il donne une H-résolvante (à défaut de mieux, cas par cas). Écrire une
procédure test_resolvante2:=proc(P,G) calculant Resolv F ;P avec ce choix
pour F (on pourra même économiser la vérification de la primitivité de F et
réécrire également des procédures
resolvante2:=proc(G) et resolvante2P:=proc(P,G)).
Que donne ce test en degré 5 ? En fait, Maple met énormément de temps,
car les calculs formels pour la conversion en polynôme en les fonctions symétriques élémentaires sont coûteux. Pour y rémédier, on va utiliser des méthodes
numériques.
En effet, on a vu au TP.XI que Maple sait calculer des approximations numériques des racines complexes de P
(commande evalf(allvalues(RootOf(P))).
On remplace alors les α i par ces approximations dans la formule de la définition 2 (en prenant soin de garder cette forme factorisée lors de l’évaluation). De
plus, on sait que les coefficients de Resolv F ;P sont des entiers. En travaillant
avec un nombre suffisant N de chiffres significatifs (commande Digits:=N) et
en prenant la partie entière, on peut donc espérer (si le contrôle numérique est
bon) obtenir la résolvante souhaitée.
Écrire une procédure resolvante3P:=proc(P,G,N) calculant la résolvante
avec cette méthode, puis une procédure de test
test_resolvante3:=proc(P,G,N).
Traiter enfin le cas du degré 5.
13. On ne peut conclure que lorsque la résolvante ne possède pas de racine
double (rationnelle). Par exemple, 40 est racine double de la M 20 -résolvante de
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