Chapitre I. Généralités sur les groupes
Exercice I.8.
1. Généraliser la proposition (I.3.4) à une famille finie de groupes G 1 , . . . , G n .
Attention. Cette proposition ne peut être généralisée à une famille infinie de
groupes, car seul le produit d’un nombre fini d’éléments a un sens.
2. Montrer que si G est un groupe fini dont tous les éléments distincts de 1 G
sont d’ordre 2, alors G est un groupe abélien et il existe un entier p 1 tel que
G Z/2Z × · · · × Z/2Z (p facteurs).
Théorème I.3.1 (propriété universelle du produit direct de groupes). Soient G 1 et
G 2 deux groupes, p i les projections canoniques de G 1 × G 2 sur G i , i = 1, 2. Pour
tout groupe G et tout morphisme de groupes f i : G → G i , i = 1, 2, il existe un
unique morphisme de groupes h : G → G 1 × G 2 tel que p i ◦ h = f i , i = 1, 2.
Démonstration. Existence de h : pour tout x de G, posons h(x) = (f 1 (x), f 2 (x)).
Il est clair que h est un morphisme de groupes et que p i ◦ h = f i , i = 1, 2.
Unicité de h : supposons qu’il existe un autre morphisme de groupes
h : G → G 1 × G 2 tel que p i ◦ h = f i , i = 1, 2. Alors, pour tout x de G, on a
h (x) = (f 1 (x), f 2 (x)) = h(x), d’où h = h.
Remarque I.3.4. Le problème universel de produit de groupes s’énonce de la façon
suivante : deux groupes G 1 et G 2 étant donnés, existe-t-il un groupe P et des
morphismes de groupes p i : P → G i , i = 1, 2, tels que, pour tout groupe G et
tous morphismes de groupes f i : G → G i , i = 1, 2, il existe un unique morphisme
de groupes g : G → P tel que p i ◦ g = f i , i = 1, 2 ? Si (P, p 1 , p 2 ) existe, on dit
que c’est une solution du problème universel de produit des groupes G 1 , G 2 . La
proposition précédente montre que P = G 1 × G 2 , p 1 et p 2 étant les morphismes
de projection, est une solution du problème.
Il est facile de montrer que la solution d’un problème universel est unique à
isomorphisme unique près. Ceci signifie que deux solutions sont isomorphes et
qu’il existe un unique isomorphisme de l’une sur l’autre ; on pourra préciser ce
que cela signifie en se reportant au TR.II.A.
En particulier, être solution d’un problème universel est une propriété qui
caractérise un objet. Par exemple, un groupe P muni de morphismes de groupes
α i : P → G i , i = 1, 2, est isomorphe au produit direct G 1 × G 2 si et seulement
s’il est solution du problème universel de produit des groupes G 1 et G 2 .
On rencontrera dans cet ouvrage plusieurs types de problèmes universels.
En particulier, on peut se poser le problème universel de somme de groupes,
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Exercice I.8.
1. Généraliser la proposition (I.3.4) à une famille finie de groupes G 1 , . . . , G n .
Attention. Cette proposition ne peut être généralisée à une famille infinie de
groupes, car seul le produit d’un nombre fini d’éléments a un sens.
2. Montrer que si G est un groupe fini dont tous les éléments distincts de 1 G
sont d’ordre 2, alors G est un groupe abélien et il existe un entier p 1 tel que
G Z/2Z × · · · × Z/2Z (p facteurs).
Théorème I.3.1 (propriété universelle du produit direct de groupes). Soient G 1 et
G 2 deux groupes, p i les projections canoniques de G 1 × G 2 sur G i , i = 1, 2. Pour
tout groupe G et tout morphisme de groupes f i : G → G i , i = 1, 2, il existe un
unique morphisme de groupes h : G → G 1 × G 2 tel que p i ◦ h = f i , i = 1, 2.
Démonstration. Existence de h : pour tout x de G, posons h(x) = (f 1 (x), f 2 (x)).
Il est clair que h est un morphisme de groupes et que p i ◦ h = f i , i = 1, 2.
Unicité de h : supposons qu’il existe un autre morphisme de groupes
h : G → G 1 × G 2 tel que p i ◦ h = f i , i = 1, 2. Alors, pour tout x de G, on a
h (x) = (f 1 (x), f 2 (x)) = h(x), d’où h = h.
Remarque I.3.4. Le problème universel de produit de groupes s’énonce de la façon
suivante : deux groupes G 1 et G 2 étant donnés, existe-t-il un groupe P et des
morphismes de groupes p i : P → G i , i = 1, 2, tels que, pour tout groupe G et
tous morphismes de groupes f i : G → G i , i = 1, 2, il existe un unique morphisme
de groupes g : G → P tel que p i ◦ g = f i , i = 1, 2 ? Si (P, p 1 , p 2 ) existe, on dit
que c’est une solution du problème universel de produit des groupes G 1 , G 2 . La
proposition précédente montre que P = G 1 × G 2 , p 1 et p 2 étant les morphismes
de projection, est une solution du problème.
Il est facile de montrer que la solution d’un problème universel est unique à
isomorphisme unique près. Ceci signifie que deux solutions sont isomorphes et
qu’il existe un unique isomorphisme de l’une sur l’autre ; on pourra préciser ce
que cela signifie en se reportant au TR.II.A.
En particulier, être solution d’un problème universel est une propriété qui
caractérise un objet. Par exemple, un groupe P muni de morphismes de groupes
α i : P → G i , i = 1, 2, est isomorphe au produit direct G 1 × G 2 si et seulement
s’il est solution du problème universel de produit des groupes G 1 et G 2 .
On rencontrera dans cet ouvrage plusieurs types de problèmes universels.
En particulier, on peut se poser le problème universel de somme de groupes,
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