I.3. Produit direct de groupes
Proposition I.3.4. Soient deux groupes G 1 et G 2 . Un groupe G est isomorphe au
produit direct G 1 × G 2 si et seulement s’il contient deux sous-groupes H 1 et H 2
tels que
(i) H i G i i = 1, 2
(ii) ∀ h 1 ∈ H 1 , ∀ h 2 ∈ H 2 , h 1 h 2 = h 2 h 1
(iii) G = H 1 H 2
(iv) H 1 ∩ H 2 = {1 G }.
Démonstration. Soit φ : G 1 × G 2 → G un isomorphisme. On pose H 1 = Im(φ ◦ q 1 )
et H 2 = Im(φ ◦ q 2 ) ; alors le groupe H 1 (resp. H 2 ) est isomorphe à G 1 (resp. G 2 ).
D’autre part,
∀h i ∈ H i ∃x i ∈ G i , i = 1, 2 tels que h 1 = φ(x 1 , 1 G 2 ), h 2 = φ(1 G 1 , x 2 ),
d’où,
h 1 h 2 = φ(x 1 , 1 G 2 )φ(1 G 1 , x 2 ) = φ((x 1 , 1 G 2 )(1 G 1 , x 2 )) = φ(x 1 , x 2 ).
De la même manière, on a
h 2 h 1 = φ(1 G 1 , x 2 )φ(x 1 , 1 G 2 ) = φ(x 1 , x 2 )
d’où h 1 h 2 = h 2 h 1 . Tout élément de G s’écrit φ(x 1 , x 2 ) = φ(x 1 , 1 G 2 )φ(1 G 1 , x 2 ) qui
appartient à H 1 H 2 , donc G = H 1 H 2 . De plus, H 1 ∩ H 2 = {φ(1 G 1 , 1 G 2 )} est réduit
à l’élément neutre de G.
Réciproquement, soient H 1 et H 2 deux sous-groupes et φ i : G i → H i ,
i = 1, 2 des isomorphismes, avec G = H 1 H 2 et H 1 ∩ H 2 = {1 G }. Pour tout
x = (g 1 , g 2 ) ∈ G 1 × G 2 , on pose ψ(x) = φ 1 (g 1 )φ 2 (g 2 ) ∈ G. Si x = (g
1 , g
2 ) alors
ψ(x)ψ(x ) = φ 1 (g 1 )φ 2 (g 2 )φ 1 (g
1 )φ 2 (g
2 ). En utilisant (ii), on obtient donc
ψ(x)ψ(x
) = φ 1 (g 1 )φ 1 (g
1 )φ 2 (g 2 )φ 2 (g
2 ) = φ 1 (g 1 g
1 )φ 2 (g 2 g
2 ) = ψ(xx
).
Cela montre que ψ est un morphisme. Il est surjectif puisque G = H 1 H 2 . Si
φ 1 (g 1 )φ 2 (g 2 ) = 1 G , alors φ 1 (g 1 ) = φ 2 (g 2 ) −1 ∈ H 1 ∩ H 2 , donc φ 1 (g 1 ) = φ 2 (g 2 ) =
1 G . On en déduit g 1 = 1 G 1 et g 2 = 1 G 2 , puis x = 1 G 1 ×G 2 , ce qui montre l’injectivité. Par conséquent, ψ est un isomorphisme de G 1 × G 2 sur G.
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