Chapitre I. Généralités sur les groupes
B - Produit direct de groupes
Proposition I.3.3. Soient G 1 et G 2 deux groupes d’éléments neutres respectifs 1 G 1
et 1 G 2 . Alors l’ensemble G 1 × G 2 muni de la loi de composition interne définie par
((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) −→ (x 1 y 1 , x 2 y 2 )
est un groupe dont l’élément neutre est (1 G 1 , 1 G 2 ), l’inverse de l’élément (x 1 , x 2 )
étant l’élément (x
−1
1 , x
−1
2 ).
La démonstration est laissée au lecteur à titre d’exercice.
Définition I.3.1. Le groupe défini ci-dessus est le produit direct des groupes
G 1 et G 2 , noté G 1 × G 2 .
Les projections canoniques
p 1 : G 1 × G 2 −→ G 1 , (x 1 , x 2 ) −→ x 1
p 2 : G 1 × G 2 −→ G 2 , (x 1 , x 2 ) −→ x 2
sont des morphismes surjectifs, et les injections canoniques
q 1 : G 1 −→ G 1 × G 2 , x 1 −→ (x 1 , 1 G 2 )
q 2 : G 1 −→ G 1 × G 2 , x 2 −→ (1 G 1 , x 2 )
sont des morphismes injectifs.
Remarques I.3.3.
a) Le groupe G 1 × G 2 est abélien si et seulement si les groupes G 1 et G 2 le
sont.
b) Le groupe Im(q 1 ) (resp. Im(q 2 )) est un sous-groupe de G 1 × G 2 isomorphe
à G 1 (resp. G 2 ).
c) Si G 1 et G 2 sont des groupes d’ordre fini, alors G 1 × G 2 est d’ordre fini et
|G 1 × G 2 | = |G 1 ||G 2 |.
Exercice I.7. Montrer que l’ensemble {0, 1, 2, 3} muni de la loi ∗ définie en (1.4)
est un groupe isomorphe au groupe (Z/2Z) × (Z/2Z). Vérifier que ce groupe n’est
pas isomorphe au groupe Z/4Z.
20