I.3. Produit direct de groupes
I.3. Produit direct de groupes
A - Produit de sous-groupes d’un groupe
Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. On considère les parties
de G, HK = {hk, h ∈ H, k ∈ K} et KH = {kh, k ∈ K, h ∈ H}, où le produit est
la loi de G.
Remarque I.3.1. En général, ces deux parties de G ne sont pas égales et ne sont pas
des sous-groupes de G. En effet, considérons dans S 3 les sous-groupes H = τ 1
et K = τ 2 : alors HK = {e, τ 1 , τ 2 , τ 1 ◦ τ 2 }, KH = {e, τ 1 , τ 2 , τ 2 ◦ τ 1 } et, puisque
τ 1 ◦ τ 2 = τ 2 ◦ τ 1 , HK = HK ; de plus (τ 1 ◦ τ 2 ) −1 = τ 2 ◦ τ 1 /
∈ HK et (τ 2 ◦ τ 1 ) −1 =
τ 1 ◦ τ 2 /
∈ KH, donc HK et KH ne sont pas des sous-groupes de S 3 .
Proposition I.3.1. Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. Alors HK
est un sous-groupe de G si et seulement si HK = KH.
Démonstration. Remarquons d’abord que HK et KH ne sont pas vides puisqu’ils
contiennent l’élément neutre. Si HK est un sous-groupe de G, pour h ∈ H et
k ∈ K, on a kh = (h −1 k −1 ) −1 ∈ HK, donc KH est contenu dans HK. Soit
z ∈ HK, alors z −1 = hk, et z = k −1 h −1 ∈ KH, d’où HK est contenu dans KH,
et HK = KH.
Réciproquement, si HK = KH, soient h et h dans H, k et k dans K ; alors,
(hk)(h k ) −1 = hkk −1 h −1 . Or, kk −1 h −1 ∈ KH = HK, donc il existe h ∈ H et
k ∈ K tels que kk −1 h −1 = h k , d’où (hk)(h k ) −1 = hh k ∈ HK, et HK est
un sous-groupe, ainsi que KH.
Remarque I.3.2. Si G est abélien, pour tous sous-groupes H et K, HK est un
sous-groupe de G.
Exercice I.6. Montrer que si HK est un sous-groupe de G, c’est le sous-groupe
engendré par H ∪ K.
Proposition I.3.2. Soient G un groupe et {H i } 1in une famille finie de sousgroupes de G. Si, quels que soient i et j, 1 i < j n, H i H j est un sous-groupe
de G, alors
H 1 H 2 . . . H n = {x 1 . . . x n , x i ∈ H i , 1 i n}
est un sous-groupe de G.
Démonstration. Le lecteur montrera, par un raisonnement par récurrence, que cette
proposition est un corollaire immédiat de la proposition (I.3.1).
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