Chapitre I. Généralités sur les groupes
2. Montrer que les groupes D 4 et H, qui sont tous les deux d’ordre 8, ne sont
pas isomorphes. (Utiliser la remarque (I.2.5.c).)
3. Montrer que les matrices
1 0
0 1
,
−1 −1
1 0
,
0 1
−1 −1
0 1
1 0
,
1 0
−1 −1
,
−1 −1
0 1
forment un sous-groupe de GL 2 (R), isomorphe au groupe GL 2 (Z/2Z).
Théorème I.2.1 (de Cayley). Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du
groupe S G de ses permutations.
Démonstration. Soit g un élément de G. L’application f g : G → G définie par
f g (x) = gx est bijective, c’est donc une permutation de E. L’application
F : G −→ S G , g −→ f g
est un morphisme de groupes. En effet F (gh) est l’application de G dans G qui
à x associe ghx. Comme ghx = g(hx), cet élément est aussi l’image de x par
l’application F (g) ◦ F (h). On en déduit que F (gh) = F (g) ◦ F (h).
De plus, F est injective. En effet, si F (g) est égal à l’identité, pour tout x de
G on a gx = x, d’où g = 1 G , où 1 G est l’élément neutre de G, et Ker(F ) = {1 G }.
Par conséquent, F est un isomorphisme de G sur son image F (G), qui est un
sous-groupe de S G .
Remarque I.2.7. On verra au TR.I.A que si deux ensembles E et F sont équipotents, les groupes S E et S F sont isomorphes. Donc, si G est un groupe d’ordre n,
le théorème de Cayley montre que G est isomorphe à un sous-groupe de S n . Mais
l’entier n n’est pas forcément minimal pour cette propriété, i.e. on peut avoir
p < n et G isomorphe à un sous-groupe de S p (cf. exercice I.5 ci-dessous). Comme
on sait que |S n | = n!, on comprend l’importance de trouver un p inférieur à n tel
que G soit isomorphe à un sous-groupe de S p .
Exercice I.5.
1. Montrer que le groupe D 4 est isomorphe à un sous-groupe de S 4 .
2. En comptant le nombre d’éléments d’ordre 4 de S 4 , montrer qu’ils n’ont
pas tous même carré.
En déduire que H n’est pas isomorphe à un sous-groupe de S 4 .
Montrer, par la même méthode, que H n’est pas isomorphe à un sous-groupe
de S 7 . Par conséquent, l’entier n minimal tel que H soit isomorphe à un sousgroupe de S n est n = 8 = |H|.
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2. Montrer que les groupes D 4 et H, qui sont tous les deux d’ordre 8, ne sont
pas isomorphes. (Utiliser la remarque (I.2.5.c).)
3. Montrer que les matrices
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0 1
,
−1 −1
1 0
,
0 1
−1 −1
0 1
1 0
,
1 0
−1 −1
,
−1 −1
0 1
forment un sous-groupe de GL 2 (R), isomorphe au groupe GL 2 (Z/2Z).
Théorème I.2.1 (de Cayley). Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du
groupe S G de ses permutations.
Démonstration. Soit g un élément de G. L’application f g : G → G définie par
f g (x) = gx est bijective, c’est donc une permutation de E. L’application
F : G −→ S G , g −→ f g
est un morphisme de groupes. En effet F (gh) est l’application de G dans G qui
à x associe ghx. Comme ghx = g(hx), cet élément est aussi l’image de x par
l’application F (g) ◦ F (h). On en déduit que F (gh) = F (g) ◦ F (h).
De plus, F est injective. En effet, si F (g) est égal à l’identité, pour tout x de
G on a gx = x, d’où g = 1 G , où 1 G est l’élément neutre de G, et Ker(F ) = {1 G }.
Par conséquent, F est un isomorphisme de G sur son image F (G), qui est un
sous-groupe de S G .
Remarque I.2.7. On verra au TR.I.A que si deux ensembles E et F sont équipotents, les groupes S E et S F sont isomorphes. Donc, si G est un groupe d’ordre n,
le théorème de Cayley montre que G est isomorphe à un sous-groupe de S n . Mais
l’entier n n’est pas forcément minimal pour cette propriété, i.e. on peut avoir
p < n et G isomorphe à un sous-groupe de S p (cf. exercice I.5 ci-dessous). Comme
on sait que |S n | = n!, on comprend l’importance de trouver un p inférieur à n tel
que G soit isomorphe à un sous-groupe de S p .
Exercice I.5.
1. Montrer que le groupe D 4 est isomorphe à un sous-groupe de S 4 .
2. En comptant le nombre d’éléments d’ordre 4 de S 4 , montrer qu’ils n’ont
pas tous même carré.
En déduire que H n’est pas isomorphe à un sous-groupe de S 4 .
Montrer, par la même méthode, que H n’est pas isomorphe à un sous-groupe
de S 7 . Par conséquent, l’entier n minimal tel que H soit isomorphe à un sousgroupe de S n est n = 8 = |H|.
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