I.2. Sous-groupes — morphismes
e) Soient G un groupe et G un ensemble. Si f : G → G est une application bijective, on peut munir G d’une structure de groupe telle que f soit un
isomorphisme, et cela de manière unique.
En effet,
∀x
∈ G
, ∀y
∈ G
, ∃!x ∈ G, ∃!y ∈ G, tels que x
= f (x), y
= f (y).
On pose alors x y = f (xy) ; ceci définit sur G une loi de composition interne
telle que :
∀x ∈ G, ∀y ∈ G, f (xy) = f (x)f (y).
On vérifie facilement que cette loi est associative, que f (1 G ) est élément neutre
et que x −1 = f (x −1 ). L’ensemble G est donc muni d’une structure de groupe et,
puisque f est un morphisme bijectif, c’est un isomorphisme.
Évidemment, on obtient un résultat analogue si G est un ensemble et G un
groupe, en considérant l’application f −1 .
f) Soient G un groupe, G un ensemble et f : G −→ G une application.
L’ensemble f (G) muni de la loi définie par f (x) f(y) = f (xy) est un groupe.
Par exemple f : Z 2 −→ C définie par f ((a, b)) = a + ib.
Exemples I.2.5.
a) Soit E un k-espace vectoriel de dimension n. Alors les groupes GL(E)
(cf. exemple I.2.1.e) et GL n (k) (cf. exemple I.1.1.b) sont isomorphes par l’isomorphisme qui, à tout élément ϕ de GL(E), associe la matrice M (ϕ) de ϕ dans une
base fixée de E.
b) Automorphismes intérieurs. Soient G un groupe et g un élément de G.
L’application
ϕ g : G −→ G, x −→ gxg
−1
est un automorphisme de G, appelé automorphisme intérieur défini par g. On
note Int(G) l’ensemble {ϕ g , g ∈ G} des automorphismes intérieurs de G. C’est
un sous-groupe de Aut(G). On remarquera que, en général, on peut avoir ϕ g = ϕ g
avec g = g , si g −1 g ∈ Z(G), d’où |Int(G)| |G|.
Remarque I.2.6. En général, pour un groupe G, Int(G) est un sous-groupe strict
de Aut(G). Mais pour certains groupes, on peut avoir Int(G) = Aut(G) (comme,
par exemple, pour les groupes S n , n = 6, (cf. TR.II.B)).
Exercice I.4.
1. Montrer que l’ensemble {0, 1, 2, 3} muni de la loi • définie en (1.4) est un
groupe isomorphe au groupe Z/4Z (cf. exemple I.1.2.b).
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e) Soient G un groupe et G un ensemble. Si f : G → G est une application bijective, on peut munir G d’une structure de groupe telle que f soit un
isomorphisme, et cela de manière unique.
En effet,
∀x
∈ G
, ∀y
∈ G
, ∃!x ∈ G, ∃!y ∈ G, tels que x
= f (x), y
= f (y).
On pose alors x y = f (xy) ; ceci définit sur G une loi de composition interne
telle que :
∀x ∈ G, ∀y ∈ G, f (xy) = f (x)f (y).
On vérifie facilement que cette loi est associative, que f (1 G ) est élément neutre
et que x −1 = f (x −1 ). L’ensemble G est donc muni d’une structure de groupe et,
puisque f est un morphisme bijectif, c’est un isomorphisme.
Évidemment, on obtient un résultat analogue si G est un ensemble et G un
groupe, en considérant l’application f −1 .
f) Soient G un groupe, G un ensemble et f : G −→ G une application.
L’ensemble f (G) muni de la loi définie par f (x) f(y) = f (xy) est un groupe.
Par exemple f : Z 2 −→ C définie par f ((a, b)) = a + ib.
Exemples I.2.5.
a) Soit E un k-espace vectoriel de dimension n. Alors les groupes GL(E)
(cf. exemple I.2.1.e) et GL n (k) (cf. exemple I.1.1.b) sont isomorphes par l’isomorphisme qui, à tout élément ϕ de GL(E), associe la matrice M (ϕ) de ϕ dans une
base fixée de E.
b) Automorphismes intérieurs. Soient G un groupe et g un élément de G.
L’application
ϕ g : G −→ G, x −→ gxg
−1
est un automorphisme de G, appelé automorphisme intérieur défini par g. On
note Int(G) l’ensemble {ϕ g , g ∈ G} des automorphismes intérieurs de G. C’est
un sous-groupe de Aut(G). On remarquera que, en général, on peut avoir ϕ g = ϕ g
avec g = g , si g −1 g ∈ Z(G), d’où |Int(G)| |G|.
Remarque I.2.6. En général, pour un groupe G, Int(G) est un sous-groupe strict
de Aut(G). Mais pour certains groupes, on peut avoir Int(G) = Aut(G) (comme,
par exemple, pour les groupes S n , n = 6, (cf. TR.II.B)).
Exercice I.4.
1. Montrer que l’ensemble {0, 1, 2, 3} muni de la loi • définie en (1.4) est un
groupe isomorphe au groupe Z/4Z (cf. exemple I.1.2.b).
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