Chapitre I. Généralités sur les groupes
Proposition I.2.11. Soient G et G deux groupes et f : G → G une application.
(i) f est un isomorphisme si et seulement si f est un morphisme bijectif
(ii) Si f est un isomorphisme, l’application réciproque f −1 est un isomorphisme.
Démonstration. (i). Il est clair qu’un isomorphisme est une application bijective. Il suffit donc de démontrer que si f est un morphisme bijectif, l’application réciproque f −1 est un morphisme de groupes. Pour tous x et y dans
G , il existe x et y uniques dans G tels que x = f (x) et y = f (y). On a
f −1 (x y ) = f −1 (f (x)f (y)) = f −1 (f (xy)) = xy = f −1 (x )f −1 (y ).
(ii). Évident.
Attention. Une application bijective n’est pas nécessairement un isomorphisme.
Le lecteur vérifiera que, pour tout groupe non trivial G et pour tout g = 1 G dans
G, l’application f g : G → G définie par f g (x) = gx est bijective, mais n’est pas
un morphisme de groupes.
Définition I.2.8. Deux groupes G et G sont isomorphes s’il existe un isomorphisme f de G sur G .
Cette notion est extrêmement importante, car deux groupes isomorphes ont
exactement les mêmes propriétés algébriques.
Notation. Si deux groupes G et G sont isomorphes, on note G G . Les éléments
de End(G) qui sont des isomorphismes sont appelés automorphismes de G. Ils
forment un groupe pour la composition des applications, noté Aut(G).
Remarques I.2.5.
a) Il est clair d’après les propositions (I.2.10) et (I.2.11) que la composition
des applications munit Aut(G) d’une structure de groupe.
b) Si deux groupes sont isomorphes, ils ont même ordre.
Attention. La réciproque est fausse (cf. exercice I.4 ci-dessous).
c) Si f est un isomorphisme d’un groupe G sur un groupe G , pour tout élément
x de G, les éléments x et f (x) ont même ordre.
d) Si f : G → G est un morphisme injectif, alors G est isomorphe à f (G).
Ceci permet « d’identifier » G au sous-groupe f (G) de G .
16
Proposition I.2.11. Soient G et G deux groupes et f : G → G une application.
(i) f est un isomorphisme si et seulement si f est un morphisme bijectif
(ii) Si f est un isomorphisme, l’application réciproque f −1 est un isomorphisme.
Démonstration. (i). Il est clair qu’un isomorphisme est une application bijective. Il suffit donc de démontrer que si f est un morphisme bijectif, l’application réciproque f −1 est un morphisme de groupes. Pour tous x et y dans
G , il existe x et y uniques dans G tels que x = f (x) et y = f (y). On a
f −1 (x y ) = f −1 (f (x)f (y)) = f −1 (f (xy)) = xy = f −1 (x )f −1 (y ).
(ii). Évident.
Attention. Une application bijective n’est pas nécessairement un isomorphisme.
Le lecteur vérifiera que, pour tout groupe non trivial G et pour tout g = 1 G dans
G, l’application f g : G → G définie par f g (x) = gx est bijective, mais n’est pas
un morphisme de groupes.
Définition I.2.8. Deux groupes G et G sont isomorphes s’il existe un isomorphisme f de G sur G .
Cette notion est extrêmement importante, car deux groupes isomorphes ont
exactement les mêmes propriétés algébriques.
Notation. Si deux groupes G et G sont isomorphes, on note G G . Les éléments
de End(G) qui sont des isomorphismes sont appelés automorphismes de G. Ils
forment un groupe pour la composition des applications, noté Aut(G).
Remarques I.2.5.
a) Il est clair d’après les propositions (I.2.10) et (I.2.11) que la composition
des applications munit Aut(G) d’une structure de groupe.
b) Si deux groupes sont isomorphes, ils ont même ordre.
Attention. La réciproque est fausse (cf. exercice I.4 ci-dessous).
c) Si f est un isomorphisme d’un groupe G sur un groupe G , pour tout élément
x de G, les éléments x et f (x) ont même ordre.
d) Si f : G → G est un morphisme injectif, alors G est isomorphe à f (G).
Ceci permet « d’identifier » G au sous-groupe f (G) de G .
16