I.2. Sous-groupes — morphismes
Définition - Proposition I.2.8. Pour tout élément f de Hom(G, G ), f (G) est un
sous-groupe de G appelé image de f et noté Im(f ) ; f −1 ({1 G }) est un sousgroupe de G appelé noyau de f et noté Ker(f ).
Proposition I.2.9. Si f : G → G est un morphisme de groupes, on a
[f injectif ] ⇔ [Ker(f ) = {1 G }]
[f surjectif ] ⇔ [Im(f ) = G
].
Démonstration. On a
[f injectif] ⇔ [∀(x, y) ∈ G × G, (f (x) = f (y)) ⇒ (x = y)].
Si f est injectif et f (x) = 1 G = f (1 G ), alors x = 1 G et Ker(f ) = {1 G }.
Réciproquement, si f (x) = f (y), on a
1 G = (f (x))
−1 f (y) = f (x
−1 )f (y) = f (x
−1 y),
d’où x −1 y ∈ Ker(f ). Si Ker(f ) = {1 G }, alors x = y et f est injective.
La deuxième assertion est évidente.
Exemples I.2.4.
a) Si H < G, alors l’injection canonique i : H H→ G est un morphisme.
b) L’application de GL n (C) dans C ∗ , qui à une matrice associe son déterminant, est un morphisme de groupes multiplicatifs dont le noyau, noté SL n (C), est
appelé groupe spécial linéaire. (On peut remplacer C par un corps commutatif
quelconque.)
Proposition I.2.10. Soient G, G , G trois groupes. Alors pour tout f de Hom(G, G )
et tout g de Hom(G , G ), g ◦ f appartient à Hom(G, G ).
Démonstration. Le lecteur vérifiera facilement que l’application de G dans G definie par g ◦ f est un morphisme de groupes.
Définition I.2.7. Un élément f de Hom(G, G ) est un isomorphisme s’il existe
un morphisme réciproque g, i.e. un élément g de Hom(G , G) tel que g◦f = id G
et f ◦ g = id G .
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