Chapitre I. Généralités sur les groupes
Il est donc simple de comparer les structures des groupes G et H. Par contre,
si deux groupes G et G ne sont pas contenus l’un dans l’autre, ou ne sont pas
sous-groupes d’un même groupe, on ne peut plus faire cette comparaison. On
est alors amené à considérer une application f : G → G qui permette de se ramener à la situation précédente, c’est-à-dire telle que f (G) soit un sous-groupe
de G . Pour cela, il faut que l’application f soit compatible avec la structure de
groupe, donc compatible avec les lois qui définissent la structure. C’est la notion
de morphisme.
Définition I.2.6. Soient (G, .) et (G , ∗) deux groupes. Un morphisme (ou homomorphisme) de groupes de G dans G est une application f : G → G
vérifiant :
∀ (x, y) ∈ G × G, f (x.y) = f (x) ∗ f (y).
Notation. On note Hom(G, G ) l’ensemble des morphismes de groupes de G dans
G . On note End(G) l’ensemble des morphismes de groupes de G dans lui-même,
qu’on appelle endomorphismes de G.
Proposition I.2.7. Tout élément f de Hom(G, G ) vérifie les propriétés suivantes :
(i) f (1 G ) = 1 G
(ii) f (x −1 ) = f (x) −1 pour tout élément x de G
(iii) H < G ⇒ f (H) < G
(iv) H < G ⇒ f −1 (H ) < G avec f −1 (H ) = {x ∈ G, f (x) ∈ H }.
Démonstration. (i). Notons 1 G et 1 G les éléments neutres respectifs de G et G .
Soit x un élément de G, on a f (x) = f (x1 G ) = f (x)f (1 G ). Or f (x) = f (x)1 G ,
d’où f (1 G ) = 1 G .
(ii). Pour tout x de G on a 1 G = f (1 G ) = f (xx −1 ) = f (x)f (x −1 ), d’où
f (x −1 ) = f (x) −1 .
(iii). Pour tous y 1 et y 2 dans f (H), il existe x 1 et x 2 dans H tels que f (x 1 ) = y 1
et f (x 2 ) = y 2 . D’où y 1 y
−1
2 = f (x 1 )f (x 2 ) −1 = f (x 1 )f (x
−1
2 ) = f (x 1 x
−1
2 ) qui appartient à f (H).
(iv). Pour tous x et y dans f −1 (H ) on a f (x) et f (y) dans H , d’où
f (xy −1 ) = f (x)f (y) −1 appartient à H , et xy −1 appartient à f −1 (H ).
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Il est donc simple de comparer les structures des groupes G et H. Par contre,
si deux groupes G et G ne sont pas contenus l’un dans l’autre, ou ne sont pas
sous-groupes d’un même groupe, on ne peut plus faire cette comparaison. On
est alors amené à considérer une application f : G → G qui permette de se ramener à la situation précédente, c’est-à-dire telle que f (G) soit un sous-groupe
de G . Pour cela, il faut que l’application f soit compatible avec la structure de
groupe, donc compatible avec les lois qui définissent la structure. C’est la notion
de morphisme.
Définition I.2.6. Soient (G, .) et (G , ∗) deux groupes. Un morphisme (ou homomorphisme) de groupes de G dans G est une application f : G → G
vérifiant :
∀ (x, y) ∈ G × G, f (x.y) = f (x) ∗ f (y).
Notation. On note Hom(G, G ) l’ensemble des morphismes de groupes de G dans
G . On note End(G) l’ensemble des morphismes de groupes de G dans lui-même,
qu’on appelle endomorphismes de G.
Proposition I.2.7. Tout élément f de Hom(G, G ) vérifie les propriétés suivantes :
(i) f (1 G ) = 1 G
(ii) f (x −1 ) = f (x) −1 pour tout élément x de G
(iii) H < G ⇒ f (H) < G
(iv) H < G ⇒ f −1 (H ) < G avec f −1 (H ) = {x ∈ G, f (x) ∈ H }.
Démonstration. (i). Notons 1 G et 1 G les éléments neutres respectifs de G et G .
Soit x un élément de G, on a f (x) = f (x1 G ) = f (x)f (1 G ). Or f (x) = f (x)1 G ,
d’où f (1 G ) = 1 G .
(ii). Pour tout x de G on a 1 G = f (1 G ) = f (xx −1 ) = f (x)f (x −1 ), d’où
f (x −1 ) = f (x) −1 .
(iii). Pour tous y 1 et y 2 dans f (H), il existe x 1 et x 2 dans H tels que f (x 1 ) = y 1
et f (x 2 ) = y 2 . D’où y 1 y
−1
2 = f (x 1 )f (x 2 ) −1 = f (x 1 )f (x
−1
2 ) = f (x 1 x
−1
2 ) qui appartient à f (H).
(iv). Pour tous x et y dans f −1 (H ) on a f (x) et f (y) dans H , d’où
f (xy −1 ) = f (x)f (y) −1 appartient à H , et xy −1 appartient à f −1 (H ).
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