I.2. Sous-groupes — morphismes
C - Ordre d’un groupe, d’un élément
Définition I.2.5. Un groupe G est dit fini s’il n’a qu’un nombre fini d’éléments.
Dans ce cas, le cardinal de G s’appelle l’ordre du groupe G et est noté |G|.
Soient G un groupe et x un élément de G. On appelle ordre de x, qu’on
note o(x), le cardinal de x. Si ce cardinal est infini, on dit que x est d’ordre
infini.
Remarques I.2.4.
a) Soient G un groupe fini et x un élément de G, alors o(x) |G|.
b) Dans tout groupe G, l’élément neutre est le seul élément d’ordre 1.
c) Dans (Z, +), tous les éléments non nuls sont d’ordre infini.
Exemples I.2.3.
a) Les groupes D 4 et H sont d’ordre 8.
b) Dans le groupe S 3 , les éléments τ 1 , τ 2 , τ 3 sont d’ordre 2, les éléments σ 1 et
σ 2 d’ordre 3. Le groupe S 3 est d’ordre 6.
Plus généralement, pour tout n 2, le groupe S n est d’ordre n!.
c) Dans le groupe D 4 , les éléments R 1 et R 3 sont d’ordre 4, les éléments H,
V , Δ 1 , Δ 2 sont d’ordre 2.
Proposition I.2.6. Soient G un groupe et x un élément d’ordre fini de G. Alors o(x)
est le plus petit entier positif s tel que x s = 1 G .
Démonstration. Si pour tout i et j dans Z, i = j, on a x i = x j , alors l’ordre
de x est infini, ce qui est contraire à l’hypothèse. Donc il existe p > q tel que
x p = x q , i.e. x p−q = 1 G , avec p − q > 0. L’ensemble {s ∈ N ∗ , x s = 1 G } est un
ensemble non vide d’entiers positifs, il admet donc un plus petit élément n. Alors
x = {1 G , x, . . . , x n−1 }, et o(x) = n.
D - Morphismes
Étudier un groupe, c’est déterminer les propriétés algébriques qui sont attachées à la loi définissant la structure de groupe. L’un des moyens les plus efficaces
pour ce faire est de comparer le groupe donné à un autre groupe dont on connaît
déjà les propriétés. Si H est un sous-groupe d’un groupe G, le produit des éléments de H est le même, que ces éléments soient considérés dans H ou dans G.
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C - Ordre d’un groupe, d’un élément
Définition I.2.5. Un groupe G est dit fini s’il n’a qu’un nombre fini d’éléments.
Dans ce cas, le cardinal de G s’appelle l’ordre du groupe G et est noté |G|.
Soient G un groupe et x un élément de G. On appelle ordre de x, qu’on
note o(x), le cardinal de x. Si ce cardinal est infini, on dit que x est d’ordre
infini.
Remarques I.2.4.
a) Soient G un groupe fini et x un élément de G, alors o(x) |G|.
b) Dans tout groupe G, l’élément neutre est le seul élément d’ordre 1.
c) Dans (Z, +), tous les éléments non nuls sont d’ordre infini.
Exemples I.2.3.
a) Les groupes D 4 et H sont d’ordre 8.
b) Dans le groupe S 3 , les éléments τ 1 , τ 2 , τ 3 sont d’ordre 2, les éléments σ 1 et
σ 2 d’ordre 3. Le groupe S 3 est d’ordre 6.
Plus généralement, pour tout n 2, le groupe S n est d’ordre n!.
c) Dans le groupe D 4 , les éléments R 1 et R 3 sont d’ordre 4, les éléments H,
V , Δ 1 , Δ 2 sont d’ordre 2.
Proposition I.2.6. Soient G un groupe et x un élément d’ordre fini de G. Alors o(x)
est le plus petit entier positif s tel que x s = 1 G .
Démonstration. Si pour tout i et j dans Z, i = j, on a x i = x j , alors l’ordre
de x est infini, ce qui est contraire à l’hypothèse. Donc il existe p > q tel que
x p = x q , i.e. x p−q = 1 G , avec p − q > 0. L’ensemble {s ∈ N ∗ , x s = 1 G } est un
ensemble non vide d’entiers positifs, il admet donc un plus petit élément n. Alors
x = {1 G , x, . . . , x n−1 }, et o(x) = n.
D - Morphismes
Étudier un groupe, c’est déterminer les propriétés algébriques qui sont attachées à la loi définissant la structure de groupe. L’un des moyens les plus efficaces
pour ce faire est de comparer le groupe donné à un autre groupe dont on connaît
déjà les propriétés. Si H est un sous-groupe d’un groupe G, le produit des éléments de H est le même, que ces éléments soient considérés dans H ou dans G.
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