Chapitre I. Généralités sur les groupes
Proposition I.2.4. C’est l’intersection de tous les sous-groupes de G qui
contiennent S.
Proposition I.2.5. Soient G un groupe et S une partie non vide de G. On a
S = {x 1 · · · x n , n ∈ N
∗ , x i ∈ S où x
−1
i ∈ S, ∀i, 1 i n}.
Démonstration. Notons H = {
n
i=1 x i , n ∈ N ∗ , x i ∈ S où x
−1
i ∈ S, ∀i, 1 i n}.
On remarque que S est contenu dans H. Soient x = x 1 . . . x n et y = y 1 . . . y p des
éléments de H, alors xy −1 = x 1 . . . x n y −1
p . . . y
−1
1 appartient à H, ce qui prouve
que H est un sous-groupe de G. D’où S est contenu dans H. Il est clair que tout
sous-groupe de G contenant S contient H, d’où S = H.
Cas particulier important. Si S = {x} pour x ∈ G, on note alors x le
sous-groupe engendré par x et il est clair que x = {x n , n ∈ Z}.
Remarque I.2.2. Si la loi de G est notée additivement, on a
S = {x 1 + · · · + x n , n ∈ N
∗ , ±x i ∈ S, ∀i, 1 i n}
d’où x = {nx, n ∈ Z}.
Définition I.2.4. Si S est une partie non vide d’un groupe G, telle que S = G,
on dit que S est une partie génératrice de G, ou que S est un ensemble de
générateurs de G, ou que S engendre G.
Exemple I.2.2. Dans le groupe S 3 , on a
σ
2
1 = σ 2 , σ
3
1 = e, σ 1 ◦ τ 3 = τ 2 , τ 3 ◦ σ 1 = τ 1
d’où σ 1 , τ 3 = S 3 .
Exercice I.3.
1. En examinant la table de l’exemple (I.1.2.c), montrer que D 4 = R 1 , H ou
D 4 = R 1 , V ou D 4 = R 1 , Δ 1 ou D 4 = R 1 , Δ 2 .
2. Montrer qu’un sous-groupe de (R, +) est, ou bien dense dans R, ou bien
engendré par un élément a de R.
Remarque I.2.3. L’exemple ci-dessus montre qu’une partie génératrice d’un groupe
n’est, en général, pas unique. En particulier G = G.
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