I.2. Sous-groupes — morphismes
On remarquera que démontrer directement que cet ensemble de matrices est un
groupe impose des calculs longs et fastidieux, en particulier pour vérifier l’associativité, d’où l’intéret de la méthode proposée, qui est fréquemment utilisée.)
On note ce groupe H et on l’appelle groupe quaternionique.
Proposition I.2.2. Les sous-groupes de (Z, +) sont les nZ = {nx, x ∈ Z}, pour n
parcourant N.
Démonstration. Il est clair que les nZ = {nx, x ∈ Z}, pour n parcourant N, sont
des sous-groupes de Z. Réciproquement, soit H un sous-groupe de Z. Si H = 0,
alors H = nZ avec n = 0. Si H est non nul, son intersection avec N ∗ est un
ensemble non vide d’entiers positifs et possède donc un plus petit élément n.
Soit x un élément quelconque de H ; la division euclidienne de x par n donne
x = ny + k, avec 0 k < n. Comme k = x − ny appartient à H, k est nul par
définition de l’entier n. On en déduit que H = nZ.
Proposition I.2.3. Soient G un groupe, I un ensemble non vide et {H i } i∈I une
famille de sous-groupes de G. Alors
i∈I H i est un sous-groupe de G.
Démonstration. Laissée au lecteur à titre d’exercice.
Attention. Une réunion de sous-groupes d’un groupe G n’est, en général, pas
un sous-groupe de G. Par exemple, on vérifiera que 3Z et 5Z sont des sous-groupes
de Z, mais que 3 + 5 = 8 n’appartient pas à 3Z ∪ 5Z.
Exercice I.2. Montrer que si A et B sont des sous-groupes d’un groupe G, A ∪ B
est un sous-groupe de G si et seulement si A est contenu dans B ou B est contenu
dans A.
B - Sous-groupes engendrés
Il est facile de voir que dans le groupe Z/nZ (exemple I.1.2.b), tout élément
cl(k) est la somme cl(1) + · · · + cl(1), k-fois. Autrement dit, l’élément cl(1) engendre le groupe Z/nZ.
Définition I.2.3. Soient G un groupe et S une partie de G. On appelle sousgroupe engendré par S, et on note S, le plus petit (pour la relation d’inclusion) sous-groupe de G contenant S.
11
On remarquera que démontrer directement que cet ensemble de matrices est un
groupe impose des calculs longs et fastidieux, en particulier pour vérifier l’associativité, d’où l’intéret de la méthode proposée, qui est fréquemment utilisée.)
On note ce groupe H et on l’appelle groupe quaternionique.
Proposition I.2.2. Les sous-groupes de (Z, +) sont les nZ = {nx, x ∈ Z}, pour n
parcourant N.
Démonstration. Il est clair que les nZ = {nx, x ∈ Z}, pour n parcourant N, sont
des sous-groupes de Z. Réciproquement, soit H un sous-groupe de Z. Si H = 0,
alors H = nZ avec n = 0. Si H est non nul, son intersection avec N ∗ est un
ensemble non vide d’entiers positifs et possède donc un plus petit élément n.
Soit x un élément quelconque de H ; la division euclidienne de x par n donne
x = ny + k, avec 0 k < n. Comme k = x − ny appartient à H, k est nul par
définition de l’entier n. On en déduit que H = nZ.
Proposition I.2.3. Soient G un groupe, I un ensemble non vide et {H i } i∈I une
famille de sous-groupes de G. Alors
i∈I H i est un sous-groupe de G.
Démonstration. Laissée au lecteur à titre d’exercice.
Attention. Une réunion de sous-groupes d’un groupe G n’est, en général, pas
un sous-groupe de G. Par exemple, on vérifiera que 3Z et 5Z sont des sous-groupes
de Z, mais que 3 + 5 = 8 n’appartient pas à 3Z ∪ 5Z.
Exercice I.2. Montrer que si A et B sont des sous-groupes d’un groupe G, A ∪ B
est un sous-groupe de G si et seulement si A est contenu dans B ou B est contenu
dans A.
B - Sous-groupes engendrés
Il est facile de voir que dans le groupe Z/nZ (exemple I.1.2.b), tout élément
cl(k) est la somme cl(1) + · · · + cl(1), k-fois. Autrement dit, l’élément cl(1) engendre le groupe Z/nZ.
Définition I.2.3. Soient G un groupe et S une partie de G. On appelle sousgroupe engendré par S, et on note S, le plus petit (pour la relation d’inclusion) sous-groupe de G contenant S.
11