Chapitre I. Généralités sur les groupes
Remarques I.2.1.
a) Le lecteur vérifiera que les deux assertions (i) et (ii) de la proposition (I.2.1)
sont équivalentes à : ∀(x, y) ∈ H × H, xy −1 ∈ H et e G ∈ H.
b) Un groupe G ayant au moins deux éléments admet au moins deux sousgroupes : G et le sous-groupe réduit à l’élément neutre.
c) Il est clair que si H est un sous-groupe d’un groupe G et si K est un
sous-groupe de H, alors K est un sous-groupe de G.
Définition I.2.2. On appelle sous-groupe propre d’un groupe G tout sousgroupe distinct de G et de l’élément neutre.
Notation. Si H est un sous-groupe de G, on notera H < G.
Exemples I.2.1.
a) (Z, +) < (Q, +) < (R, +) < (C, +).
b) (Q ∗ , ×) < (R ∗ , ×) < (C ∗ , ×).
c) Le groupe multiplicatif U des nombres complexes de module 1 est un sousgroupe de (C ∗ , ×).
d) Le groupe multiplicatif U n des nombres complexes z tels que z n =1 est un
sous-groupe de U.
e) Le groupe GL(E) des automorphismes d’un k-espace vectoriel E est un
sous-groupe de S E .
f) Pour tout groupe G, on considère
Z(G) = {g ∈ G, ∀x ∈ G, gx = xg}.
C’est un sous-groupe de G, appelé le centre de G.
Exercice I.1.
1. Montrer que pour tout n 3, on a Z(S n ) = {1}, où 1 est la permutation
identité.
2. Montrer que les matrices
±
1 0
0 1
, ±
0 1
−1 0
, ±
0 i
i 0
, ±
i 0
0 −i
où i est un nombre complexe tel que i 2 = −1, forment un groupe pour la multiplication des matrices. (On montrera que c’est un sous-groupe du groupe GL 2 (C).
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Remarques I.2.1.
a) Le lecteur vérifiera que les deux assertions (i) et (ii) de la proposition (I.2.1)
sont équivalentes à : ∀(x, y) ∈ H × H, xy −1 ∈ H et e G ∈ H.
b) Un groupe G ayant au moins deux éléments admet au moins deux sousgroupes : G et le sous-groupe réduit à l’élément neutre.
c) Il est clair que si H est un sous-groupe d’un groupe G et si K est un
sous-groupe de H, alors K est un sous-groupe de G.
Définition I.2.2. On appelle sous-groupe propre d’un groupe G tout sousgroupe distinct de G et de l’élément neutre.
Notation. Si H est un sous-groupe de G, on notera H < G.
Exemples I.2.1.
a) (Z, +) < (Q, +) < (R, +) < (C, +).
b) (Q ∗ , ×) < (R ∗ , ×) < (C ∗ , ×).
c) Le groupe multiplicatif U des nombres complexes de module 1 est un sousgroupe de (C ∗ , ×).
d) Le groupe multiplicatif U n des nombres complexes z tels que z n =1 est un
sous-groupe de U.
e) Le groupe GL(E) des automorphismes d’un k-espace vectoriel E est un
sous-groupe de S E .
f) Pour tout groupe G, on considère
Z(G) = {g ∈ G, ∀x ∈ G, gx = xg}.
C’est un sous-groupe de G, appelé le centre de G.
Exercice I.1.
1. Montrer que pour tout n 3, on a Z(S n ) = {1}, où 1 est la permutation
identité.
2. Montrer que les matrices
±
1 0
0 1
, ±
0 1
−1 0
, ±
0 i
i 0
, ±
i 0
0 −i
où i est un nombre complexe tel que i 2 = −1, forment un groupe pour la multiplication des matrices. (On montrera que c’est un sous-groupe du groupe GL 2 (C).
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