I.2. Sous-groupes — morphismes
Mais, par rapport à la situation de Z et (Q, +) décrite ci-dessus, un premier
écueil peut se présenter : l’élément x∗y appartient à G, mais peut ne pas appartenir
à H, i.e. la loi n’est pas une loi de composition interne pour H. Par exemple,
pour G = (M 2 (C), +) et H = GL 2 (C), les éléments
x =
1 0
0 1
, y =
0 1
1 0
appartiennent à H, (x + y) appartient à G mais pas à H.
Même quand ce premier écueil est évité, il peut s’en présenter un second : pour
un élément x de H, le symétrique x, qui appartient à G, peut ne pas appartenir
à H. Par exemple, pour G = (Q ∗ , ×) et H = Z ∗ , la multiplication induite sur H
par celle de G est une loi de composition interne pour H, mais l’inverse de 2 dans
G n’appartient pas à H.
Pour pouvoir étendre la situation décrite pour (Q, +) et Z à un groupe quelconque G et un sous-ensemble H, il faut donc que la loi induite sur H soit une
loi de composition interne pour H, on dit que H est stable pour la loi de G, et
que le symétrique, dans G, de tout élément de H appartienne à H, on dit que H
est stable par symétrique. La proposition (I.2.1) ci-dessous montrera que ces
conditions sont suffisantes.
Définition I.2.1. Un sous-ensemble non vide H d’un groupe G est un sousgroupe de G si, muni de la loi induite par celle de G, c’est un groupe.
Proposition I.2.1. Un sous-ensemble non vide H d’un groupe G est un sous-groupe
de G si et seulement si
(i) ∀ (x, y) ∈ H × H, xy ∈ H.
(ii) ∀ x ∈ H, x −1 ∈ H.
Démonstration. Si H est un sous-groupe de G, les assertions (i) et (ii) sont clairement vérifiées. Réciproquement, d’après l’assertion (i), la loi de G induit sur H
une loi interne, et cette loi est associative pour la même raison que celle indiquée
ci-dessus pour (Q, +) et Z. D’après (ii), pour tout élément x de H, on a x −1 ∈ H,
d’où, d’après (i), xx −1 ∈ H. Mais xx −1 est l’élément neutre de G. On en déduit
que l’élément neutre de G est aussi élément neutre de H. Par conséquent, H muni
de la loi induite par celle de G est un groupe.
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Mais, par rapport à la situation de Z et (Q, +) décrite ci-dessus, un premier
écueil peut se présenter : l’élément x∗y appartient à G, mais peut ne pas appartenir
à H, i.e. la loi n’est pas une loi de composition interne pour H. Par exemple,
pour G = (M 2 (C), +) et H = GL 2 (C), les éléments
x =
1 0
0 1
, y =
0 1
1 0
appartiennent à H, (x + y) appartient à G mais pas à H.
Même quand ce premier écueil est évité, il peut s’en présenter un second : pour
un élément x de H, le symétrique x, qui appartient à G, peut ne pas appartenir
à H. Par exemple, pour G = (Q ∗ , ×) et H = Z ∗ , la multiplication induite sur H
par celle de G est une loi de composition interne pour H, mais l’inverse de 2 dans
G n’appartient pas à H.
Pour pouvoir étendre la situation décrite pour (Q, +) et Z à un groupe quelconque G et un sous-ensemble H, il faut donc que la loi induite sur H soit une
loi de composition interne pour H, on dit que H est stable pour la loi de G, et
que le symétrique, dans G, de tout élément de H appartienne à H, on dit que H
est stable par symétrique. La proposition (I.2.1) ci-dessous montrera que ces
conditions sont suffisantes.
Définition I.2.1. Un sous-ensemble non vide H d’un groupe G est un sousgroupe de G si, muni de la loi induite par celle de G, c’est un groupe.
Proposition I.2.1. Un sous-ensemble non vide H d’un groupe G est un sous-groupe
de G si et seulement si
(i) ∀ (x, y) ∈ H × H, xy ∈ H.
(ii) ∀ x ∈ H, x −1 ∈ H.
Démonstration. Si H est un sous-groupe de G, les assertions (i) et (ii) sont clairement vérifiées. Réciproquement, d’après l’assertion (i), la loi de G induit sur H
une loi interne, et cette loi est associative pour la même raison que celle indiquée
ci-dessus pour (Q, +) et Z. D’après (ii), pour tout élément x de H, on a x −1 ∈ H,
d’où, d’après (i), xx −1 ∈ H. Mais xx −1 est l’élément neutre de G. On en déduit
que l’élément neutre de G est aussi élément neutre de H. Par conséquent, H muni
de la loi induite par celle de G est un groupe.
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