Chapitre I. Généralités sur les groupes
Démonstration. Soient x, y, z trois éléments distincts deux à deux dans E. On
considère les deux transpositions τ xy et τ yz (on note τ ij la permutation qui échange
i et j), alors τ xy ◦ τ yz = τ yz ◦ τ xy .
Attention. En général, dans un goupe non abélien, (xy) n = x n y n , n ∈ N. Mais
si xy = yx, alors (xy) n = x n y n , n ∈ N.
Remarques I.1.3. Dans la suite, sauf mention contraire, on notera les lois de
groupes multiplicativement (x, y) → xy, on les appellera produits, on notera x −1
l’élément symétrique de x qu’on appellera inverse de x, et on notera 1 l’élément
neutre. Toutefois, si le groupe considéré est abélien, on notera sa loi additivement
(x, y) → x + y, on l’appellera somme, on notera −x l’élément symétrique de x
qu’on appellera opposé de x, et on notera 0 l’élément neutre.
I.2. Sous-groupes — morphismes
A - Sous-groupes
Supposons qu’on connaisse le groupe (Q, +), mais qu’on n’ait pas défini d’addition sur Z. Puisque Z est un sous-ensemble de Q, on peut considérer l’addition
de deux entiers dans Q. Il est facile de vérifier que l’addition, dans Q, de deux
entiers est encore un entier. On définit ainsi une addition sur Z, qui est une loi de
composition interne.
De plus, quels que soient x, y, z des éléments de Z, les éléments (x + y) + z et
x + (y + z) sont égaux dans Q et appartiennent à Z, ils sont donc égaux dans Z.
Autrement dit, l’associativité de la loi définie sur Z à partir de celle définie sur Q
découle de l’associativité de la loi de Q.
On vérifie de la même manière que 0, qui est l’élément neutre de Q pour
l’addition, est aussi élément neutre pour l’addition dans Z et que, pour tout
x ∈ Z, −x, qui est le symétrique de x dans Q, est aussi le symétrique de x dans Z.
Autrement dit, ceci montre que la structure de groupe de (Z, +) est déduite
de celle de (Q, +). On dit que (Z, +) est un sous-groupe de (Q, +).
Le lecteur pourra faire la même analyse en considérant l’ensemble
Z[i] = {a + ib|(a, b) ∈ Z 2 }, avec i 2 = −1, vu comme sous-ensemble de (C, +).
On cherche à formaliser cette situation au cas général d’un groupe (G, ∗) et
d’un sous-ensemble H de G. La loi de composition interne de G permet de définir
une loi de composition sur H,
∀(x, y) ∈ H × H, (x, y) → x ∗ y.
C’est la loi induite sur H par celle de G.
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Démonstration. Soient x, y, z trois éléments distincts deux à deux dans E. On
considère les deux transpositions τ xy et τ yz (on note τ ij la permutation qui échange
i et j), alors τ xy ◦ τ yz = τ yz ◦ τ xy .
Attention. En général, dans un goupe non abélien, (xy) n = x n y n , n ∈ N. Mais
si xy = yx, alors (xy) n = x n y n , n ∈ N.
Remarques I.1.3. Dans la suite, sauf mention contraire, on notera les lois de
groupes multiplicativement (x, y) → xy, on les appellera produits, on notera x −1
l’élément symétrique de x qu’on appellera inverse de x, et on notera 1 l’élément
neutre. Toutefois, si le groupe considéré est abélien, on notera sa loi additivement
(x, y) → x + y, on l’appellera somme, on notera −x l’élément symétrique de x
qu’on appellera opposé de x, et on notera 0 l’élément neutre.
I.2. Sous-groupes — morphismes
A - Sous-groupes
Supposons qu’on connaisse le groupe (Q, +), mais qu’on n’ait pas défini d’addition sur Z. Puisque Z est un sous-ensemble de Q, on peut considérer l’addition
de deux entiers dans Q. Il est facile de vérifier que l’addition, dans Q, de deux
entiers est encore un entier. On définit ainsi une addition sur Z, qui est une loi de
composition interne.
De plus, quels que soient x, y, z des éléments de Z, les éléments (x + y) + z et
x + (y + z) sont égaux dans Q et appartiennent à Z, ils sont donc égaux dans Z.
Autrement dit, l’associativité de la loi définie sur Z à partir de celle définie sur Q
découle de l’associativité de la loi de Q.
On vérifie de la même manière que 0, qui est l’élément neutre de Q pour
l’addition, est aussi élément neutre pour l’addition dans Z et que, pour tout
x ∈ Z, −x, qui est le symétrique de x dans Q, est aussi le symétrique de x dans Z.
Autrement dit, ceci montre que la structure de groupe de (Z, +) est déduite
de celle de (Q, +). On dit que (Z, +) est un sous-groupe de (Q, +).
Le lecteur pourra faire la même analyse en considérant l’ensemble
Z[i] = {a + ib|(a, b) ∈ Z 2 }, avec i 2 = −1, vu comme sous-ensemble de (C, +).
On cherche à formaliser cette situation au cas général d’un groupe (G, ∗) et
d’un sous-ensemble H de G. La loi de composition interne de G permet de définir
une loi de composition sur H,
∀(x, y) ∈ H × H, (x, y) → x ∗ y.
C’est la loi induite sur H par celle de G.
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