I.1. Définitions — exemples
c) On note D 4 le groupe des isométries du carré pour la composition des
applications. Les éléments de D 4 sont
I = identité
R 1 = la rotation de centre 0 (le centre du carré) et d’angle π/2
R 2 = la rotation de centre 0 (le centre du carré) et d’angle π
R 3 = la rotation de centre 0 (le centre du carré) et d’angle 3π/2
H = la symétrie par rapport à l’axe de symétrie horizontal
V = la symétrie par rapport à l’axe de symétrie vertical
Δ 1 = la symétrie par rapport à la première diagonale
Δ 2 = symétrie par rapport à la deuxième diagonale
qui se composent suivant la table
I
R 1 R 2 R 3 H
V
Δ 1 Δ 2
I
I
R 1 R 2 R 3 H
V
Δ 1 Δ 2
R 1
R 1 R 2 R 3 I
Δ 1 Δ 2 V
H
R 2
R 2 R 3 I
R 1 V
H
Δ 2 Δ 1
R 3
R 3 I
R 1 R 2 Δ 2 Δ 1 H
V
H
H
Δ 2 V
Δ 1 I
R 2 R 3 R 1
V
V
Δ 1 H
Δ 2 R 2 I
R 1 R 3
Δ 1
Δ 1 H
Δ 2 V
R 1 R 3 I
R 2
Δ 2
Δ 2 V
Δ 1 H
R 3 R 1 R 2 I
où les termes de cette table sont x ◦ y pour x dans la première colonne et y dans
la première ligne.
Ce groupe fait partie d’une suite de groupes D n , n 3, appelés groupes
diédraux (cf. TR.IV.A).
Définition I.1.2. Si (G, ∗) est un groupe tel que la loi ∗ satisfasse à la propriété
(iv) ∀ x, y ∈ G, x ∗ y = y ∗ x,
le groupe (G, ∗) est dit commutatif ou encore abélien.
Exemples I.1.3.
a) Les groupes (Z, +), (Q ∗ , ×), (M n (C), +) sont abéliens.
b) Le groupe (GL n (C), ×) ne l’est pas. On constate sur la table ci-dessus que
le groupe D 4 n’est pas abélien.
Proposition I.1.1. Si card E 3, le groupe S E n’est pas abélien.
7