Chapitre I. Généralités sur les groupes
Chaque élément de l’ensemble {0, 1, 2, 3, 4} apparaît une fois et une fois seulement
sur chaque ligne et chaque colonne, mais la loi ∗, ainsi définie, ne munit pas
cet ensemble d’une structure de groupe, car elle n’est pas associative puisque
(1 ∗ 2) ∗ 3 = 4 ∗ 3 = 1 et 1 ∗ (2 ∗ 3) = 1 ∗ 4 = 3.
Remarques I.1.2.
a) On remarquera que sur une table comme ci-dessus, on détermine facilement
l’existence d’un élément neutre ou d’un élément symétrique, mais que l’associativité de la loi n’apparaît pas de façon évidente.
b) L’exemple ci-dessus des lois • et ∗ définies sur l’ensemble {0, 1, 2, 3} montre
qu’un ensemble peut être muni de plusieurs lois de composition interne qui définissent des structures de groupes différentes. D’où la nécessité, pour définir un
groupe, de donner l’ensemble et sa loi de composition interne. Par conséquent,
lorsqu’on voudra préciser que la structure de groupe considérée sur un ensemble G
est donnée par une loi particulière, par exemple notée ∗, on notera le groupe (G, ∗).
Exemples I.1.2.
a) Soit E un ensemble. On note S E le groupe des applications bijectives de E
dans E (ou permutations de E) pour la loi de composition interne définie par la
composition des applications. Si E = {1, 2, 3} les éléments de S E sont
e =
1 2 3
1 2 3
σ 1 =
1 2 3
2 3 1
σ 2 =
1 2 3
3 1 2
τ 1 =
1 2 3
1 3 2
τ 2 =
1 2 3
3 2 1
τ 3 =
1 2 3
2 1 3
.
On notera ce groupe S 3 (écrire sa table), et de façon générale on notera S n le
groupe S E pour E = {1, ..., n}. Le groupe S E est appelé groupe des permutations de l’ensemble E, ou groupe symétrique. Une étude détaillée de ce groupe
est proposée dans le TR.I.A en fin de ce chapitre.
b) On note Z/nZ l’ensemble des classes de congruences des entiers relatifs
modulo n. Rappelons que si n est un entier positif, deux entiers relatifs p et q sont
congrus modulo n si p−q = kn, k ∈ Z. Ceci définit sur Z une relation d’équivalence
dont Z/nZ est l’ensemble des classes. En notant cl(k) la classe de k, on vérifie
aisément que l’addition définie par cl(p) + cl(q) = cl(p + q) est indépendante du
choix des représentants p et q et qu’elle munit Z/nZ d’une structure de groupe,
dont cl(0) est l’élément neutre et cl(−x) est le symétrique de cl(x).
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Chaque élément de l’ensemble {0, 1, 2, 3, 4} apparaît une fois et une fois seulement
sur chaque ligne et chaque colonne, mais la loi ∗, ainsi définie, ne munit pas
cet ensemble d’une structure de groupe, car elle n’est pas associative puisque
(1 ∗ 2) ∗ 3 = 4 ∗ 3 = 1 et 1 ∗ (2 ∗ 3) = 1 ∗ 4 = 3.
Remarques I.1.2.
a) On remarquera que sur une table comme ci-dessus, on détermine facilement
l’existence d’un élément neutre ou d’un élément symétrique, mais que l’associativité de la loi n’apparaît pas de façon évidente.
b) L’exemple ci-dessus des lois • et ∗ définies sur l’ensemble {0, 1, 2, 3} montre
qu’un ensemble peut être muni de plusieurs lois de composition interne qui définissent des structures de groupes différentes. D’où la nécessité, pour définir un
groupe, de donner l’ensemble et sa loi de composition interne. Par conséquent,
lorsqu’on voudra préciser que la structure de groupe considérée sur un ensemble G
est donnée par une loi particulière, par exemple notée ∗, on notera le groupe (G, ∗).
Exemples I.1.2.
a) Soit E un ensemble. On note S E le groupe des applications bijectives de E
dans E (ou permutations de E) pour la loi de composition interne définie par la
composition des applications. Si E = {1, 2, 3} les éléments de S E sont
e =
1 2 3
1 2 3
σ 1 =
1 2 3
2 3 1
σ 2 =
1 2 3
3 1 2
τ 1 =
1 2 3
1 3 2
τ 2 =
1 2 3
3 2 1
τ 3 =
1 2 3
2 1 3
.
On notera ce groupe S 3 (écrire sa table), et de façon générale on notera S n le
groupe S E pour E = {1, ..., n}. Le groupe S E est appelé groupe des permutations de l’ensemble E, ou groupe symétrique. Une étude détaillée de ce groupe
est proposée dans le TR.I.A en fin de ce chapitre.
b) On note Z/nZ l’ensemble des classes de congruences des entiers relatifs
modulo n. Rappelons que si n est un entier positif, deux entiers relatifs p et q sont
congrus modulo n si p−q = kn, k ∈ Z. Ceci définit sur Z une relation d’équivalence
dont Z/nZ est l’ensemble des classes. En notant cl(k) la classe de k, on vérifie
aisément que l’addition définie par cl(p) + cl(q) = cl(p + q) est indépendante du
choix des représentants p et q et qu’elle munit Z/nZ d’une structure de groupe,
dont cl(0) est l’élément neutre et cl(−x) est le symétrique de cl(x).
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