I.1. Définitions — exemples
b) (M n (C), +), où M n (C) désigne l’ensemble des matrices (n, n) à coefficients dans C ; (GL n (C), ×), où GL n (C) désigne l’ensemble des matrices (n, n)
inversibles à coefficients dans C. Ce dernier groupe est appelé groupe général
linéaire.
Table d’un groupe. Si le groupe G muni de la loi ∗ a un cardinal assez petit,
il peut être commode de décrire explicitement la structure de groupe à l’aide d’un
tableau. Plus précisément, si G = {x 0 = e, x 1 , . . . , x n }, où e est l’élément neutre,
on décrit la loi de composition interne ∗ par un tableau carré dans lequel le terme
situé à l’intersection de la i ème ligne et de la j ème colonne est le terme x i ∗ x j . Par
exemple, sur l’ensemble {0, 1, 2, 3} on définit les lois de composition interne • et
∗ par les tables suivantes :
•
0 1 2 3
0
0 1 2 3
1
1 2 3 0
2
2 3 0 1
3
3 0 1 2
∗
0 1 2 3
0
0 1 2 3
1
1 0 3 2
2
2 3 0 1
3
3 2 1 0
Pour montrer que ces lois munissent l’ensemble {0, 1, 2, 3} de deux structures de
groupe, il suffit de vérifier qu’elles satisfont aux axiomes de la définition (I.1.1).
On remarquera que chaque élément du groupe apparaît une fois et une fois
seulement sur chaque ligne et chaque colonne. Ceci est dû au fait que, dans un
groupe G, on a
∀u ∈ G, ∀v ∈ G, ∃!x, ∃!y tels que u ∗ x = v et y ∗ u = v ;
ces éléments sont donnés par x = u ∗ v et y = v ∗ u.
On prendra garde au fait que la condition « chaque élément de l’ensemble G
apparaît une fois et une fois seulement dans chaque ligne et chaque colonne »
dans un tableau comme ci-dessus est nécessaire mais pas suffisante pour que la
loi interne définie par ce tableau munisse G d’une structure de groupe. En effet,
considérons le tableau suivant :
∗
0 1 2 3 4
0
0 1 2 3 4
1
1 0 4 2 3
2
2 3 0 4 1
3
3 4 1 0 2
4
4 2 3 1 0
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b) (M n (C), +), où M n (C) désigne l’ensemble des matrices (n, n) à coefficients dans C ; (GL n (C), ×), où GL n (C) désigne l’ensemble des matrices (n, n)
inversibles à coefficients dans C. Ce dernier groupe est appelé groupe général
linéaire.
Table d’un groupe. Si le groupe G muni de la loi ∗ a un cardinal assez petit,
il peut être commode de décrire explicitement la structure de groupe à l’aide d’un
tableau. Plus précisément, si G = {x 0 = e, x 1 , . . . , x n }, où e est l’élément neutre,
on décrit la loi de composition interne ∗ par un tableau carré dans lequel le terme
situé à l’intersection de la i ème ligne et de la j ème colonne est le terme x i ∗ x j . Par
exemple, sur l’ensemble {0, 1, 2, 3} on définit les lois de composition interne • et
∗ par les tables suivantes :
•
0 1 2 3
0
0 1 2 3
1
1 2 3 0
2
2 3 0 1
3
3 0 1 2
∗
0 1 2 3
0
0 1 2 3
1
1 0 3 2
2
2 3 0 1
3
3 2 1 0
Pour montrer que ces lois munissent l’ensemble {0, 1, 2, 3} de deux structures de
groupe, il suffit de vérifier qu’elles satisfont aux axiomes de la définition (I.1.1).
On remarquera que chaque élément du groupe apparaît une fois et une fois
seulement sur chaque ligne et chaque colonne. Ceci est dû au fait que, dans un
groupe G, on a
∀u ∈ G, ∀v ∈ G, ∃!x, ∃!y tels que u ∗ x = v et y ∗ u = v ;
ces éléments sont donnés par x = u ∗ v et y = v ∗ u.
On prendra garde au fait que la condition « chaque élément de l’ensemble G
apparaît une fois et une fois seulement dans chaque ligne et chaque colonne »
dans un tableau comme ci-dessus est nécessaire mais pas suffisante pour que la
loi interne définie par ce tableau munisse G d’une structure de groupe. En effet,
considérons le tableau suivant :
∗
0 1 2 3 4
0
0 1 2 3 4
1
1 0 4 2 3
2
2 3 0 4 1
3
3 4 1 0 2
4
4 2 3 1 0
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