Chapitre I. Généralités sur les groupes
En effet, en appliquant deux fois la propriété (iii)’, on a
∀x, ∃ x ∈ G tel que x ∗ x = e
d’où
x ∗ x = e ∗ (x ∗ x) = (x ∗ x) ∗ (x ∗ x) = x ∗ (x ∗ x) ∗ x = x ∗ e ∗ x = x ∗ x = e.
De même,
x = e ∗ x = (x ∗ x) ∗ x = x ∗ (x ∗ x) = x ∗ e.
b) L’élément neutre est unique. Pour tout élément x de G, l’élément symétrique
x est unique.
En effet, soient e un autre élément neutre et x un autre élément symétrique
de x. On a
e
= e ∗ e
= e
et
x = x ∗ e = x ∗ (x ∗ x
) = (x ∗ x) ∗ x
= e ∗ x
= x
.
c) Pour tout x, y, z ∈ G, de l’unicité de l’élément symétrique on déduit que
x ∗ y = y ∗ x
(on notera le changement de l’ordre dans l’écriture des éléments) et, en multipliant
à gauche (suivant la loi ∗) par l’élément x les deux termes de la première égalité
ci-dessous, on a
(x ∗ y = x ∗ z) ⇔ (y = z) (simplification).
d) On remarquera qu’un groupe est la donnée d’un ensemble et d’une loi de
composition interne définie sur cet ensemble, vérifiant les axiomes (i), (ii), (iii).
On verra en effet (TR.I.B remarque VI.2.3) que sur tout ensemble on peut définir
une loi de composition interne qui le munisse d’une structure de groupe ; il y en
a en général plusieurs, voire une infinité si l’ensemble est infini. Par conséquent,
une expression du type « un groupe est un ensemble sur lequel il existe une loi
de composition interne vérifiant les axiomes (i), (ii), (iii) » est synonyme de « un
groupe est un ensemble », ce qui rendrait absurde l’introduction de la structure
de groupe. Voir aussi la remarque (I.1.2.b) ci-dessous.
Exemples I.1.1.
a) L’ensemble des nombres entiers relatifs muni de l’addition est un groupe,
noté (Z, +). L’ensemble des nombres rationnels non nuls, muni de la multiplication, est un groupe, noté (Q ∗ , ×). Il est évident qu’un ensemble réduit à un
élément est muni d’une unique structure de groupe.
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En effet, en appliquant deux fois la propriété (iii)’, on a
∀x, ∃ x ∈ G tel que x ∗ x = e
d’où
x ∗ x = e ∗ (x ∗ x) = (x ∗ x) ∗ (x ∗ x) = x ∗ (x ∗ x) ∗ x = x ∗ e ∗ x = x ∗ x = e.
De même,
x = e ∗ x = (x ∗ x) ∗ x = x ∗ (x ∗ x) = x ∗ e.
b) L’élément neutre est unique. Pour tout élément x de G, l’élément symétrique
x est unique.
En effet, soient e un autre élément neutre et x un autre élément symétrique
de x. On a
e
= e ∗ e
= e
et
x = x ∗ e = x ∗ (x ∗ x
) = (x ∗ x) ∗ x
= e ∗ x
= x
.
c) Pour tout x, y, z ∈ G, de l’unicité de l’élément symétrique on déduit que
x ∗ y = y ∗ x
(on notera le changement de l’ordre dans l’écriture des éléments) et, en multipliant
à gauche (suivant la loi ∗) par l’élément x les deux termes de la première égalité
ci-dessous, on a
(x ∗ y = x ∗ z) ⇔ (y = z) (simplification).
d) On remarquera qu’un groupe est la donnée d’un ensemble et d’une loi de
composition interne définie sur cet ensemble, vérifiant les axiomes (i), (ii), (iii).
On verra en effet (TR.I.B remarque VI.2.3) que sur tout ensemble on peut définir
une loi de composition interne qui le munisse d’une structure de groupe ; il y en
a en général plusieurs, voire une infinité si l’ensemble est infini. Par conséquent,
une expression du type « un groupe est un ensemble sur lequel il existe une loi
de composition interne vérifiant les axiomes (i), (ii), (iii) » est synonyme de « un
groupe est un ensemble », ce qui rendrait absurde l’introduction de la structure
de groupe. Voir aussi la remarque (I.1.2.b) ci-dessous.
Exemples I.1.1.
a) L’ensemble des nombres entiers relatifs muni de l’addition est un groupe,
noté (Z, +). L’ensemble des nombres rationnels non nuls, muni de la multiplication, est un groupe, noté (Q ∗ , ×). Il est évident qu’un ensemble réduit à un
élément est muni d’une unique structure de groupe.
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