I
GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES
I.1. Définitions — exemples
Définition I.1.1. Un groupe est la donnée d’un ensemble non vide G et
d’une loi de composition interne
G × G −→ G
(x, y) −→ x ∗ y
vérifiant les propriétés suivantes :
(i) ∀ x, y, z ∈ G, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
(ii) ∃ e ∈ G, tel que ∀ x ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = x
(iii) ∀ x ∈ G, ∃ x ∈ G tel que x ∗ x = x ∗ x = e.
La propriété (i) est l’associativité de la loi ; l’élément e, dont l’existence est
assurée par la propriété (ii), est l’élément neutre pour la loi ; l’élément x est
appelé élément symétrique de x.
Remarques I.1.1.
a) Cet ensemble de propriétés est redondant. Les propriétés (i), (ii), (iii) sont
impliquées par les propriétés (i), (ii)’, (iii)’ avec :
(ii)’ ∃ e ∈ G tel que ∀x ∈ G, e ∗ x = x (élément neutre à gauche)
(iii)’ ∀ x ∈ G, ∃ x ∈ G tel que x ∗ x = e (élément symétrique à gauche).