I.3. Produit direct de groupes
problème dual du précédent, obtenu en « renversant » le sens des morphismes.
On verra au TR.III.D et au chapitre VI que ce problème universel de somme
admet des réponses très différentes suivant que l’on considère des groupes non
abéliens ou des groupes abéliens, ce qui n’est pas le cas pour le problème universel de produit comme cela a été remarqué en (I.3.3.a). Par conséquent, la solution
d’un problème universel, lorsqu’elle existe, ne dépend pas seulement du type de
problème posé, mais aussi du type de structure algébrique concerné.
Proposition I.3.5. Soient I un ensemble non vide et {G i } i∈I une famille de groupes
d’élément neutre respectif 1 G i , i ∈ I. L’ensemble
i∈I G i muni de la loi de
composition interne ((x i ) i∈I , (y i ) i∈I ) −→ (x i y i ) i∈I est un groupe, noté
i∈I G i
et appelé produit direct des groupes (G i ) i∈I , dont l’élément neutre est 1 = (1 G i ) i∈I
et dans lequel l’élément inverse de x = (x i ) i∈I est l’élément x −1 = (x
−1
i ) i∈I .
Démonstration. Laissée au lecteur à titre d’exercice.
Exercice I.9. Le lecteur démontrera l’énoncé suivant, qui est la généralisation de
l’énoncé du théorème (I.3.1) à une famille quelconque de groupes (G i ) i∈I .
Soient I un ensemble non vide, (G i ) i∈I une famille de groupes et les morphismes de projection p i :
i∈I G i → G i , i ∈ I. Pour tout groupe G et toute
famille de morphismes de groupes f i : G → G i , i ∈ I, il existe un unique morphisme de groupes g : G →
i∈I G i tel que, pour tout i ∈ I, p i ◦ g = f i .
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