Algèbre T1
1. Calculer les groupes de Galois des polynômes de la liste jusqu’au degré 5 inclus,
puis de quelques exemples de votre choix parmi ceux du degré 6 et 7. Observer
le résultat affiché, comme sur l’exemple ci-dessous :
> galois(x^5-5*x+12);
“5T2”, {“5 :2”, “D(5)”}, “+”, 10, {“(1 2 3 4 5)”, “(1 4)(2 3)”}
Il s’agit du groupe diédral D 5 (nommé également 5T2 dans la nomenclature
utilisée par Maple), de cardinal 10 et engendré par le 5-cycle (1 2 3 4 5) et
l’élément (1 4)(2 3) d’ordre 2 (pour le choix de numérotation fait par Maple).
Le signe + signifie que le discriminant Δ(P ) = (−1)
n(n−1)
2
Res(P, P ) = d 2 , où
d =
1i
c’est équivalent au fait que Gal(P ) est un sous-groupe de A n . Noter que ce
résultat a déjà été vu pour le degré 3 (cf. exercice XIV.1).
Vérifier que tous les dix groupes transitifs de degrés 4 et 5 rappelés dans les
préliminaires apparaissent bien, à conjugaison près.
2. Les théorèmes XVI.2.1 et XVI.3.1 montrent que l’équation P (x) = 0 est résoluble par radicaux si et seulement si G = Gal(P ) est résoluble. La proposition XII.3.1 fournit alors un critère algorithmiquement vérifiable : il suffit de regarder si la suite décroissante des groupes dérivés G n = D n (G) = [G n−1 , G n−1 ]
se termine par {e} (groupe trivial réduit à l’identité). La commande Maple
correspondante est DerivedS.
Parmi les groupes transitifs de degrés 4 et 5, lesquels sont résolubles ? Tester
les commandes DerivedS(G) et solve(P) pour P = x 5 − x + 1 et P = x 5 + 2.
3. On va maintenant ouvrir la boîte noire et demander à Maple d’afficher les
différentes étapes du calcul. Pour cela, taper :
> restart; infolevel[galois]:=2;
Puis traiter le cas du degré 4 ainsi que les polynômes x 5 + 2 et x 6 + 12. Par
exemple :
> galois(x^4+x^3+x^2+x+1;
galois: Computing the Galois group of
x^4+x^3+x^2+x+1
galois/absres: 125 = 125, (nonsquare)
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1. Calculer les groupes de Galois des polynômes de la liste jusqu’au degré 5 inclus,
puis de quelques exemples de votre choix parmi ceux du degré 6 et 7. Observer
le résultat affiché, comme sur l’exemple ci-dessous :
> galois(x^5-5*x+12);
“5T2”, {“5 :2”, “D(5)”}, “+”, 10, {“(1 2 3 4 5)”, “(1 4)(2 3)”}
Il s’agit du groupe diédral D 5 (nommé également 5T2 dans la nomenclature
utilisée par Maple), de cardinal 10 et engendré par le 5-cycle (1 2 3 4 5) et
l’élément (1 4)(2 3) d’ordre 2 (pour le choix de numérotation fait par Maple).
Le signe + signifie que le discriminant Δ(P ) = (−1)
n(n−1)
2
Res(P, P ) = d 2 , où
d =
1i
c’est équivalent au fait que Gal(P ) est un sous-groupe de A n . Noter que ce
résultat a déjà été vu pour le degré 3 (cf. exercice XIV.1).
Vérifier que tous les dix groupes transitifs de degrés 4 et 5 rappelés dans les
préliminaires apparaissent bien, à conjugaison près.
2. Les théorèmes XVI.2.1 et XVI.3.1 montrent que l’équation P (x) = 0 est résoluble par radicaux si et seulement si G = Gal(P ) est résoluble. La proposition XII.3.1 fournit alors un critère algorithmiquement vérifiable : il suffit de regarder si la suite décroissante des groupes dérivés G n = D n (G) = [G n−1 , G n−1 ]
se termine par {e} (groupe trivial réduit à l’identité). La commande Maple
correspondante est DerivedS.
Parmi les groupes transitifs de degrés 4 et 5, lesquels sont résolubles ? Tester
les commandes DerivedS(G) et solve(P) pour P = x 5 − x + 1 et P = x 5 + 2.
3. On va maintenant ouvrir la boîte noire et demander à Maple d’afficher les
différentes étapes du calcul. Pour cela, taper :
> restart; infolevel[galois]:=2;
Puis traiter le cas du degré 4 ainsi que les polynômes x 5 + 2 et x 6 + 12. Par
exemple :
> galois(x^4+x^3+x^2+x+1;
galois: Computing the Galois group of
x^4+x^3+x^2+x+1
galois/absres: 125 = 125, (nonsquare)
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