Travaux pratiques
A4:=permgroup(4,{[[1,2,3]],[[1,2],[3,4]]}):
C5:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]]}):
S5:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]],[[1,2]]}):
D5:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]],[[2,5],[3,4]]}):
A5:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]],[[1,2,3]]}):
M20:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]],[[2,3,5,4]]}):
On reconnaît des groupes cycliques, diédraux, des groupes symétriques et alternés, enfin le groupe métacyclique M 20 d’ordre 20. Ils sont définis ci-dessus par
un système de générateurs en notation Maple. Prendre soin de charger la librairie group ; le cardinal et la liste des éléments s’obtiennent alors en appliquant les
commandes grouporder et elements respectivement.
La commande galois
Le but de cette première partie est d’observer les résultats de la commande
galois sur des polynômes de petits degrés (jusqu’à n = 7). Mais nos exemples
ne sont pas issus du hasard : la liste ci-dessous, tirée de [9], fournit un exemple
pour chaque groupe transitif de la classification à conjugaison près que nous avons
mentionnée. Autrement dit, la réponse au problème de Galois inverse est positive
jusqu’au rang 7.
– degrés 1 à 3 : P 1 = x, P 2 = x 2 + x + 1, P 3 = x 3 + x 2 − 2x − 1, P 4 = x 3 + 2 ;
– degré 4 : P 5 = x 4 +x 3 +x 2 +x+1, P 6 = x 4 +1, P 7 = x 4 −2, P 8 = x 4 +8x+12,
P 9 = x 4 + x + 1 ;
– degré 5 : P 10 = x 5 + x 4 − 4x 3 − 3x 2 +3x+1, P 11 = x 5 − 5x+12, P 12 = x 5 +2,
P 13 = x 5 + 20x + 16, P 14 = x 5 − x + 1 ;
– degré 6 : P 15 = x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1, P 16 = x 6 + 108,
P 17 = x 6 + 2, P 18 = x 6 − 3x 2 − 1, P 19 = x 6 + 3x 3 + 3, P 20 = x 6 − 3x 2 + 1,
P 21 = x 6 −4x 2 −1, P 22 = x 6 −3x 5 +6x 4 −7x 3 +2x 2 +x−4, P 23 = x 6 +2x 3 −2,
P 24 = x 6 + 6x 4 + 2x 3 + 9x 2 + 6x − 4, P 25 = x 6 + 2x 2 + 2,
P 26 = x 6 − 2x 5 − 5x 2 − 2x − 1, P 27 = x 6 + 2x 4 + 2x 3 + x 2 + 2x + 2,
P 28 = x 6 − x 5 − 10x 4 + 30x 3 − 31x 2 + 7x + 9, P 29 = x 6 + 24x − 20,
P 30 = x 6 + x + 1 ;
– degré 7 : P 31 = x 7 + x 6 − 12x 5 − 7x 4 + 28x 3 + 14x 2 − 9x + 1,
P 32 = x 7 +7x 3 +7x 2 +7x−1, P 33 = x 7 −14x 5 +56x 3 −56x+22, P 34 = x 7 +2,
P 35 = x 7 − 7x 3 + 14x 2 − 7x + 1, P 36 = x 7 + 7x 4 + 14x + 3, P 37 = x 7 + x + 1.
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A4:=permgroup(4,{[[1,2,3]],[[1,2],[3,4]]}):
C5:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]]}):
S5:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]],[[1,2]]}):
D5:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]],[[2,5],[3,4]]}):
A5:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]],[[1,2,3]]}):
M20:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]],[[2,3,5,4]]}):
On reconnaît des groupes cycliques, diédraux, des groupes symétriques et alternés, enfin le groupe métacyclique M 20 d’ordre 20. Ils sont définis ci-dessus par
un système de générateurs en notation Maple. Prendre soin de charger la librairie group ; le cardinal et la liste des éléments s’obtiennent alors en appliquant les
commandes grouporder et elements respectivement.
La commande galois
Le but de cette première partie est d’observer les résultats de la commande
galois sur des polynômes de petits degrés (jusqu’à n = 7). Mais nos exemples
ne sont pas issus du hasard : la liste ci-dessous, tirée de [9], fournit un exemple
pour chaque groupe transitif de la classification à conjugaison près que nous avons
mentionnée. Autrement dit, la réponse au problème de Galois inverse est positive
jusqu’au rang 7.
– degrés 1 à 3 : P 1 = x, P 2 = x 2 + x + 1, P 3 = x 3 + x 2 − 2x − 1, P 4 = x 3 + 2 ;
– degré 4 : P 5 = x 4 +x 3 +x 2 +x+1, P 6 = x 4 +1, P 7 = x 4 −2, P 8 = x 4 +8x+12,
P 9 = x 4 + x + 1 ;
– degré 5 : P 10 = x 5 + x 4 − 4x 3 − 3x 2 +3x+1, P 11 = x 5 − 5x+12, P 12 = x 5 +2,
P 13 = x 5 + 20x + 16, P 14 = x 5 − x + 1 ;
– degré 6 : P 15 = x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1, P 16 = x 6 + 108,
P 17 = x 6 + 2, P 18 = x 6 − 3x 2 − 1, P 19 = x 6 + 3x 3 + 3, P 20 = x 6 − 3x 2 + 1,
P 21 = x 6 −4x 2 −1, P 22 = x 6 −3x 5 +6x 4 −7x 3 +2x 2 +x−4, P 23 = x 6 +2x 3 −2,
P 24 = x 6 + 6x 4 + 2x 3 + 9x 2 + 6x − 4, P 25 = x 6 + 2x 2 + 2,
P 26 = x 6 − 2x 5 − 5x 2 − 2x − 1, P 27 = x 6 + 2x 4 + 2x 3 + x 2 + 2x + 2,
P 28 = x 6 − x 5 − 10x 4 + 30x 3 − 31x 2 + 7x + 9, P 29 = x 6 + 24x − 20,
P 30 = x 6 + x + 1 ;
– degré 7 : P 31 = x 7 + x 6 − 12x 5 − 7x 4 + 28x 3 + 14x 2 − 9x + 1,
P 32 = x 7 +7x 3 +7x 2 +7x−1, P 33 = x 7 −14x 5 +56x 3 −56x+22, P 34 = x 7 +2,
P 35 = x 7 − 7x 3 + 14x 2 − 7x + 1, P 36 = x 7 + 7x 4 + 14x + 3, P 37 = x 7 + x + 1.
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