Algèbre T1
Remarques préliminaires
Soit P un polynôme de degré n de Q[x] dont on désire calculer le groupe de
Galois Gal(P ) = Gal(K/Q), où K ⊂ C désigne le corps de décomposition de P .
On peut supposer, quitte à remplacer P par son quotient par pgcd(P, P ), ce qui
ne change pas le corps de décomposition K, que toutes les racines sont simples.
Ensuite, en multipliant P par un entier suffisamment grand, on peut supposer que
P appartient à Z[x]. Enfin, on se ramène au cas d’un polynôme unitaire comme
suit : si P =
n
k=0 a k x k ∈ Z[x], on pose
P = x n +
n−1
k=0 a k a n−k−1
n
x k . Comme
P (a n x) = a n−1
n P (x), les deux polynômes ont bien même groupe de Galois, et
P
est unitaire à coefficients entiers.
Dans ce qui suit, nous supposerons que P est irréductible. Si l’on dispose
d’un algorithme efficace décomposant P en produit de facteurs irréductibles (voir
TP IX.A), il n’est par contre pas toujours facile d’exprimer le groupe Gal(P )
en fonction du groupe de Galois des facteurs irréductibles. Par exemple, Maple
renvoie un message d’erreur lorsque P n’est pas irréductible. De plus, si l’on désire
calculer le groupe de Galois des corps de nombres, c’est-à-dire des extensions finies
de Q, alors il est inutile de traiter le cas des polynômes réductibles, puisque tout
corps de nombres est corps de décomposition sur Q d’un polynôme irréductible.
Le groupe de Galois Gal(P ) agit naturellement sur l’ensemble {α 1 , . . . , α n } des
racines, qui sont permutées, et l’action est fidèle. Se donner une telle numérotation,
arbitraire, des racines identifie donc Gal(P ) à un sous-groupe de S n . Changer
l’ordre de numérotation transforme Gal(P ) en un conjugué sous S n ; ainsi, lorsqu’il
s’agit d’identifier le groupe de Galois, les objets naturels à considérer sont les sousgroupes de S n à conjugaison près.
De plus, on a supposé P irréductible : l’action de Gal(P ) sur les racines est
alors transitive. En effet, comme α i et α j ont même polynôme minimal P , ils sont
conjugués sur Q : il existe d’après la proposition XIII.1.1 un Q-automorphisme
de C tel que σ(α i ) = α j . Notant K = Q(α 1 , . . . , α n ) ⊂ C le corps de décomposition de P , l’extension K/Q est normale, donc σ(K) = K (proposition XIII.2.1)
et σ induit par restriction à K un élément du groupe de Galois. Il s’agit donc
de regarder les sous-groupes transitifs de S n . C’est une question non triviale de
théorie des groupes qui a été résolue au moins jusqu’à n = 32. La classification
des sous-groupes transitifs de S n à conjugaison près a été donnée au TP.IV.B
jusqu’au rang n = 7. Par exemple, pour les degrés 4 et 5, ce sont :
C4:=permgroup(4,{[[1,2,3,4]]}):
S4:=permgroup(4,{[[1,2,3,4]],[[1,2]]}):
D4:=permgroup(4,{[[1,2,3,4]],[[1,3]]}):
V4:=permgroup(4,{[[1,2],[3,4]],[[1,3],[2,4]]}):
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Remarques préliminaires
Soit P un polynôme de degré n de Q[x] dont on désire calculer le groupe de
Galois Gal(P ) = Gal(K/Q), où K ⊂ C désigne le corps de décomposition de P .
On peut supposer, quitte à remplacer P par son quotient par pgcd(P, P ), ce qui
ne change pas le corps de décomposition K, que toutes les racines sont simples.
Ensuite, en multipliant P par un entier suffisamment grand, on peut supposer que
P appartient à Z[x]. Enfin, on se ramène au cas d’un polynôme unitaire comme
suit : si P =
n
k=0 a k x k ∈ Z[x], on pose
P = x n +
n−1
k=0 a k a n−k−1
n
x k . Comme
P (a n x) = a n−1
n P (x), les deux polynômes ont bien même groupe de Galois, et
P
est unitaire à coefficients entiers.
Dans ce qui suit, nous supposerons que P est irréductible. Si l’on dispose
d’un algorithme efficace décomposant P en produit de facteurs irréductibles (voir
TP IX.A), il n’est par contre pas toujours facile d’exprimer le groupe Gal(P )
en fonction du groupe de Galois des facteurs irréductibles. Par exemple, Maple
renvoie un message d’erreur lorsque P n’est pas irréductible. De plus, si l’on désire
calculer le groupe de Galois des corps de nombres, c’est-à-dire des extensions finies
de Q, alors il est inutile de traiter le cas des polynômes réductibles, puisque tout
corps de nombres est corps de décomposition sur Q d’un polynôme irréductible.
Le groupe de Galois Gal(P ) agit naturellement sur l’ensemble {α 1 , . . . , α n } des
racines, qui sont permutées, et l’action est fidèle. Se donner une telle numérotation,
arbitraire, des racines identifie donc Gal(P ) à un sous-groupe de S n . Changer
l’ordre de numérotation transforme Gal(P ) en un conjugué sous S n ; ainsi, lorsqu’il
s’agit d’identifier le groupe de Galois, les objets naturels à considérer sont les sousgroupes de S n à conjugaison près.
De plus, on a supposé P irréductible : l’action de Gal(P ) sur les racines est
alors transitive. En effet, comme α i et α j ont même polynôme minimal P , ils sont
conjugués sur Q : il existe d’après la proposition XIII.1.1 un Q-automorphisme
de C tel que σ(α i ) = α j . Notant K = Q(α 1 , . . . , α n ) ⊂ C le corps de décomposition de P , l’extension K/Q est normale, donc σ(K) = K (proposition XIII.2.1)
et σ induit par restriction à K un élément du groupe de Galois. Il s’agit donc
de regarder les sous-groupes transitifs de S n . C’est une question non triviale de
théorie des groupes qui a été résolue au moins jusqu’à n = 32. La classification
des sous-groupes transitifs de S n à conjugaison près a été donnée au TP.IV.B
jusqu’au rang n = 7. Par exemple, pour les degrés 4 et 5, ce sont :
C4:=permgroup(4,{[[1,2,3,4]]}):
S4:=permgroup(4,{[[1,2,3,4]],[[1,2]]}):
D4:=permgroup(4,{[[1,2,3,4]],[[1,3]]}):
V4:=permgroup(4,{[[1,2],[3,4]],[[1,3],[2,4]]}):
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