TRAVAUX PRATIQUES
TP.XVI. Théorie de Galois constructive
Le but de ce TP est d’aborder des aspects effectifs de la théorie de Galois des
corps de nombres tout en manipulant et en illustrant la théorie. En effet, puisque
Maple parvient à calculer les groupes de Galois des polynômes P ∈ Z[x] de petits
degrés, quels sont les algorithmes que cache la commande galois ?
Nous allons voir que les ingrédients sont de deux types : d’une part, on réduit P
modulo différents nombres premiers p et l’on exploite l’information dont on dispose
sur Gal(P ). Maple prédit alors de quel groupe il s’agit : il utilise pour cela un
théorème remarquable de Chebotarev qui constitue une méthode « probabiliste »
de calcul du groupe de Galois. D’autre part, on calcule des « résolvantes », ces
dernières remontant aux travaux de Lagrange (voir également le TR.XVI.A). Nous
formaliserons la théorie générale des résolvantes, ce qui nous aménera entre autres,
lors de l’implémentation, à écrire un programme exprimant un polynôme en n
indéterminées invariant sous l’action de S n comme polynôme en les fonctions
symétriques élémentaires.
Pour finir, mentionnons que nos calculs fournissent des réponses partielles
au problème de galois inverse, c’est-à-dire celui de savoir si tout groupe fini est
(isomorphe au) groupe de Galois d’un polynôme à coefficients rationnels. En se
restreignant aux polynômes irréductibles, cela revient à se demander si tout sousgroupe transitif (voir ci-dessous) du groupe symétrique S n est groupe de Galois
d’un polynôme de degré n. C’est vrai jusqu’à n = 7 d’après nos calculs. À la
connaissance des auteurs, la réponse est encore positive jusqu’à n = 18, la vérification nécessitant l’élaboration d’algorithmes plus sophistiqués que les nôtres.
Nous nous heurtons en effet très tôt aux limitations liées à la puissance de calcul
des machines, ce qui nous oblige déjà à recourir, par exemple pour le calcul des
résolvantes, à des méthodes numériques d’approximation des racines complexes
de P .
TP.XVI. Théorie de Galois constructive
Le but de ce TP est d’aborder des aspects effectifs de la théorie de Galois des
corps de nombres tout en manipulant et en illustrant la théorie. En effet, puisque
Maple parvient à calculer les groupes de Galois des polynômes P ∈ Z[x] de petits
degrés, quels sont les algorithmes que cache la commande galois ?
Nous allons voir que les ingrédients sont de deux types : d’une part, on réduit P
modulo différents nombres premiers p et l’on exploite l’information dont on dispose
sur Gal(P ). Maple prédit alors de quel groupe il s’agit : il utilise pour cela un
théorème remarquable de Chebotarev qui constitue une méthode « probabiliste »
de calcul du groupe de Galois. D’autre part, on calcule des « résolvantes », ces
dernières remontant aux travaux de Lagrange (voir également le TR.XVI.A). Nous
formaliserons la théorie générale des résolvantes, ce qui nous aménera entre autres,
lors de l’implémentation, à écrire un programme exprimant un polynôme en n
indéterminées invariant sous l’action de S n comme polynôme en les fonctions
symétriques élémentaires.
Pour finir, mentionnons que nos calculs fournissent des réponses partielles
au problème de galois inverse, c’est-à-dire celui de savoir si tout groupe fini est
(isomorphe au) groupe de Galois d’un polynôme à coefficients rationnels. En se
restreignant aux polynômes irréductibles, cela revient à se demander si tout sousgroupe transitif (voir ci-dessous) du groupe symétrique S n est groupe de Galois
d’un polynôme de degré n. C’est vrai jusqu’à n = 7 d’après nos calculs. À la
connaissance des auteurs, la réponse est encore positive jusqu’à n = 18, la vérification nécessitant l’élaboration d’algorithmes plus sophistiqués que les nôtres.
Nous nous heurtons en effet très tôt aux limitations liées à la puissance de calcul
des machines, ce qui nous oblige déjà à recourir, par exemple pour le calcul des
résolvantes, à des méthodes numériques d’approximation des racines complexes
de P .