Algèbre T1
4. Montrer que le groupe de Galois de Y 3 + pY + q sur K(p, q) est isomorphe à S 3 .
On sait que le groupe S 3 possède la suite de composition {id} A 3 S 3 .
5. Montrer que le corps Inv(A 3 ) des invariants de A 3 est K(p, q)(
√
D), où D est
le discriminant de Y 3 + pY + q.
On pose j = −
1
2 +
1
2
√ −3, et
u = y 1 + jy 2 + j 2 y 3
v = y 1 + j 2 y 2 + jy 3 .
On en déduit
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
y 1 =
1
3 (u + v)
y 2 =
1
3 (j 2 u + jv)
y 3 =
1
3 (ju + j 2 v).
6. Montrer que u 3 + v 3 et u 3 v 3 appartiennent à K(p, q).
7. Montrer que u 3 et v 3 sont racines du polynôme T 2 + 27qT − 27p 3 .
Ce polynôme est appelé la résolvante de Y 3 + pY + q.
8. Montrer que u =
3
1
2 (−27q + 3
√ −3
√
D) et v =
3
1
2 (−27q − 3
√ −3
√
D), avec
D = −4p 3 − 27q 2 .
Les formules donnant u, v, et y 1 , y 2 , y 3 en fonction de u et v, sont appelées
les formules de Cardan.
Soient f (X) = X 3 + pX + q ∈ K[X], où K est un sous-corps de R, et
D = −4p 3 − 27q 2 son discriminant.
9. Montrer que :
– Si D < 0, f (X) a une unique racine réelle.
– Si D = 0, f (X) a trois racines réelles dont au moins deux sont confondues.
– Si D > 0, f (X) a trois racines réelles distinctes.
On suppose que D > 0 et que le groupe le Galois, Gal(f ) est isomorphe à A 3 .
10. On note L un corps de décomposition de f (X) sur K. Montrer qu’il n’existe
aucun sous-corps de R qui contienne L et qui soit une extension de K par radicaux.
Ce résultat signifie que, sous les hypothèses faites, les racines de f (X) sont
réelles, mais que les expressions de ces racines données par les formules de Cardan
font intervenir un nombre non réel, à savoir j. Autrement dit, il n’existe pas de
formules purement réelles donnant les racines réelles de l’équation f (X) = 0.
410