Thèmes de réflexion
B - Résolution des équations polynomiales de degré 4 –
Méthode de Ferrari
D’après la question 2, il suffit d’avoir un procédé de résolution pour l’équation
f (X) = X 4 − t 1 X 3 + t 2 X 2 − t 3 X + t 4 = 0, où t 1 , t 2 , t 3 , t 4 sont des éléments d’une
extension de K, algébriquement libres sur K.
11. Montrer que le polynôme f (X) peut s’écrire Y 4 +pY 2 +qY +r, dont les racines
y 1 , y 2 , y 3 , y 4 vérifient y 1 +y 2 +y 3 +y 4 = 0, y 1 y 2 +y 2 y 3 +y 3 y 4 +y 4 y 1 +y 1 y 3 +y 3 y 2 = p,
y 1 y 2 y 3 + y 2 y 3 y 4 + y 3 y 4 y 1 + y 4 y 1 y 2 = −q, y 1 y 2 y 3 y 4 = r. (Faire la transformation
Y = X −
1
4 t 1 .)
12. Montrer que le groupe de Galois de Y 4 + pY 2 + qY + r sur K(p, q, r) est
isomorphe à S 4 .
On sait que le groupe S 4 possède la suite de composition {id} V V A 4 S 4 .
On pose
⎧
⎨
⎩
z 1 = y 1 y 2 + y 3 y 4
z 2 = y 1 y 3 + y 2 y 4
z 3 = y 1 y 4 + y 2 y 3 .
13. En déduire que l’on a
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
2y 1 =
√ z 1 − p +
√
z 2 − p +
√ z 3 − p
2y 2 =
√ z 1 − p −
√
z 2 − p −
√ z 3 − p
2y 3 = −
√
z 1 − p +
√
z 2 − p −
√ z 3 − p
2y 4 = −
√
z 1 − p +
√
z 2 − p +
√ z 3 − p
où les racines carrées sont prises de telle sorte que
√
z 1 − p
√ z 2 − p
√ z 3 − p = −q.
Ces expressions s’appellent les formules de Ferrari.
14. Montrer que les polynômes symétriques élémentaires en z 1 , z 2 , z 3 appartiennent à K(p, q, r). (On montrera que z 1 , z 2 , z 3 sont globalement invariants sous
l’action de S 4 .)
15. Vérifier que
⎧
⎨
⎩
z 1 + z 2 + z 3 =
p
z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 = −4r
z 1 z 2 z 3 = q 2 − 4pr.
16. En déduire que z 1 , z 2 , z 3 sont racines du polynôme
Z
3
− pZ
2
− 4rZ + 4pr − q
2 .
Ce polynôme s’appelle la résolvante cubique de Y 4 + pY 2 + qY + r.
On sait résoudre la résolvante cubique par la méthode de Cardan, d’où les
racines de l’équation Y 4 + pY 2 + qY + r = 0 par les formules de Ferrari.
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B - Résolution des équations polynomiales de degré 4 –
Méthode de Ferrari
D’après la question 2, il suffit d’avoir un procédé de résolution pour l’équation
f (X) = X 4 − t 1 X 3 + t 2 X 2 − t 3 X + t 4 = 0, où t 1 , t 2 , t 3 , t 4 sont des éléments d’une
extension de K, algébriquement libres sur K.
11. Montrer que le polynôme f (X) peut s’écrire Y 4 +pY 2 +qY +r, dont les racines
y 1 , y 2 , y 3 , y 4 vérifient y 1 +y 2 +y 3 +y 4 = 0, y 1 y 2 +y 2 y 3 +y 3 y 4 +y 4 y 1 +y 1 y 3 +y 3 y 2 = p,
y 1 y 2 y 3 + y 2 y 3 y 4 + y 3 y 4 y 1 + y 4 y 1 y 2 = −q, y 1 y 2 y 3 y 4 = r. (Faire la transformation
Y = X −
1
4 t 1 .)
12. Montrer que le groupe de Galois de Y 4 + pY 2 + qY + r sur K(p, q, r) est
isomorphe à S 4 .
On sait que le groupe S 4 possède la suite de composition {id} V V A 4 S 4 .
On pose
⎧
⎨
⎩
z 1 = y 1 y 2 + y 3 y 4
z 2 = y 1 y 3 + y 2 y 4
z 3 = y 1 y 4 + y 2 y 3 .
13. En déduire que l’on a
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
2y 1 =
√ z 1 − p +
√
z 2 − p +
√ z 3 − p
2y 2 =
√ z 1 − p −
√
z 2 − p −
√ z 3 − p
2y 3 = −
√
z 1 − p +
√
z 2 − p −
√ z 3 − p
2y 4 = −
√
z 1 − p +
√
z 2 − p +
√ z 3 − p
où les racines carrées sont prises de telle sorte que
√
z 1 − p
√ z 2 − p
√ z 3 − p = −q.
Ces expressions s’appellent les formules de Ferrari.
14. Montrer que les polynômes symétriques élémentaires en z 1 , z 2 , z 3 appartiennent à K(p, q, r). (On montrera que z 1 , z 2 , z 3 sont globalement invariants sous
l’action de S 4 .)
15. Vérifier que
⎧
⎨
⎩
z 1 + z 2 + z 3 =
p
z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 = −4r
z 1 z 2 z 3 = q 2 − 4pr.
16. En déduire que z 1 , z 2 , z 3 sont racines du polynôme
Z
3
− pZ
2
− 4rZ + 4pr − q
2 .
Ce polynôme s’appelle la résolvante cubique de Y 4 + pY 2 + qY + r.
On sait résoudre la résolvante cubique par la méthode de Cardan, d’où les
racines de l’équation Y 4 + pY 2 + qY + r = 0 par les formules de Ferrari.
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