THÈMES DE RÉFLEXION
♣ TR.XVI. Résolution des équations polynomiales
de degrés 3 et 4
Comme nous allons le rappeler ci-dessous, toute équation polynomiale de degré 3 ou 4, à coefficients dans un corps de caractéristique nulle, est résoluble par
radicaux. L’objectif de ce TR est de donner, dans ce cas, des formules explicites
pour la résolution de ces équations.
La résolution par radicaux des équations polynomiales de degré 1 est évidente.
1. Montrer que les formules de résolution des équations polynomiales de degré 2,
à coefficients dans R, sont encore valables pour des équations polynomiales, de
degré 2, à coefficients dans un corps quelconque de caractéristique nulle.
Les groupes S 3 et S 4 étant résolubles, le polynôme donné au théorème (XVI.2.2), pour n = 3 ou n = 4 est résoluble par radicaux.
2. En déduire que toute équation polynomiale de degré 3 ou 4, à coefficients dans
un corps quelconque de caractéristique nulle, est résoluble par radicaux. (Procéder
par substitution.)
A - Résolution des équations polynomiales de degré 3 –
Méthode de Cardan
D’après la question 2, il suffit d’avoir un procédé de résolution pour l’équation
f (X) = X 3 − t 1 X 2 + t 2 X − t 3 = 0, où t 1 , t 2 , t 3 sont des éléments d’une extension
de K, algébriquement libres sur K.
L’étude ci-dessous utilise les notions de résultant et de discriminant développées dans le TR.VIII.C.
3. Montrer que le polynôme f (X) peut s’écrire Y 3 + pY + q, dont les racines
y 1 , y 2 , y 3 vérifient y 1 + y 2 + y 3 = 0, y 1 y 2 + y 2 y 3 + y 3 y 1 = p, y 1 y 2 y 3 = −q. (Faire la
transformation Y = X −
1
3 t 1 .)
♣ TR.XVI. Résolution des équations polynomiales
de degrés 3 et 4
Comme nous allons le rappeler ci-dessous, toute équation polynomiale de degré 3 ou 4, à coefficients dans un corps de caractéristique nulle, est résoluble par
radicaux. L’objectif de ce TR est de donner, dans ce cas, des formules explicites
pour la résolution de ces équations.
La résolution par radicaux des équations polynomiales de degré 1 est évidente.
1. Montrer que les formules de résolution des équations polynomiales de degré 2,
à coefficients dans R, sont encore valables pour des équations polynomiales, de
degré 2, à coefficients dans un corps quelconque de caractéristique nulle.
Les groupes S 3 et S 4 étant résolubles, le polynôme donné au théorème (XVI.2.2), pour n = 3 ou n = 4 est résoluble par radicaux.
2. En déduire que toute équation polynomiale de degré 3 ou 4, à coefficients dans
un corps quelconque de caractéristique nulle, est résoluble par radicaux. (Procéder
par substitution.)
A - Résolution des équations polynomiales de degré 3 –
Méthode de Cardan
D’après la question 2, il suffit d’avoir un procédé de résolution pour l’équation
f (X) = X 3 − t 1 X 2 + t 2 X − t 3 = 0, où t 1 , t 2 , t 3 sont des éléments d’une extension
de K, algébriquement libres sur K.
L’étude ci-dessous utilise les notions de résultant et de discriminant développées dans le TR.VIII.C.
3. Montrer que le polynôme f (X) peut s’écrire Y 3 + pY + q, dont les racines
y 1 , y 2 , y 3 vérifient y 1 + y 2 + y 3 = 0, y 1 y 2 + y 2 y 3 + y 3 y 1 = p, y 1 y 2 y 3 = −q. (Faire la
transformation Y = X −
1
3 t 1 .)