Chapitre XVI. Résolubilité par radicaux des équations polynomiales
Démonstration de la proposition (XVI.2.2). On prend p n premier et on choisit
trois polynômes irréductibles unitaires P 2 , P 3 et P 5 dans Z[x], de degré n, tels que
leurs réductions modulo 2, 3 et 5 se décomposent en irréductibles sur les corps
finis respectifs comme suit : P 2 est irréductible sur F 2 , P 3 = xQ et P 5 = RS avec
R de degré 2.
Soit alors P = −15P 2 + 10P 3 + 6P 5 . On a P ≡ P i mod i, pour i = 2, 3, 5.
Comme P est irréductible sur Q, car sa réduction modulo 2 l’est sur F 2 , il est
à racines simples dans C. D’après le théorème (XVI.2.3), on sait que Gal(P )
contient un n − 1-cycle (à cause du facteur Q) et le produit d’une transposition et
d’un n − 2-cycle (facteurs R et S), donc une transposition (prendre une puissance
convenable de ce produit). On en déduit que Gal(P ) est isomorphe à S n , car un
sous-groupe transitif de S n qui contient une transposition et un n − 1-cycle est
S n tout entier.
En utilisant le théorème de Cayley, on obtient comme corollaire de ce qui
précède que tout groupe fini G est groupe de Galois d’une extension de corps
de nombres. Par contre, on ne sait pas si ce résultat est vrai pour une extension
K/Q seulement, en dehors des cas où G est de l’un des types suivants : les groupes
abéliens, S n , A n , les groupes résolubles (démonstration très difficile) et certains
groupes P SL 2 (F p ). Le « problème de Galois inverse », comme on l’appelle (i.e.
étant donné un groupe fini G, est-il le groupe de Galois d’une extension finie ?)
est un problème difficile.
Ce qui précède montre que, pour tout n 5, il existe au moins un polynôme
de degré n non résoluble par radicaux, d’où l’impossibilité d’une résolution générale par radicaux des équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 5.
Cependant, cela ne signifie pas que tous les polynômes de degré n ne soient pas résolubles par radicaux. On est donc amené à se poser la question suivante : peut-on
caractériser les polynômes résolubles par radicaux ?
XVI.3. Caractérisation des polynômes résolubles
Théorème XVI.3.1. Soient K un corps de caractéristique nulle et L/K une extension finie normale dont le groupe de Galois est résoluble. Alors, il existe une
extension E/L telle que E/K soit radicale.
Démonstration. Soit G = Gal(L/K) : on fait un raisonnement par récurrence sur
l’ordre de G. Si |G| = 1, c’est évident. Supposons que |G| = 1 et le théorème
vrai pour tout groupe d’ordre strictement inférieur à celui de G. Puisque G est
fini, il possède un sous-groupe normal maximal H. Le groupe quotient G/H est
simple et résoluble, il est donc cyclique d’ordre premier p (proposition VII.4.1).
406
Démonstration de la proposition (XVI.2.2). On prend p n premier et on choisit
trois polynômes irréductibles unitaires P 2 , P 3 et P 5 dans Z[x], de degré n, tels que
leurs réductions modulo 2, 3 et 5 se décomposent en irréductibles sur les corps
finis respectifs comme suit : P 2 est irréductible sur F 2 , P 3 = xQ et P 5 = RS avec
R de degré 2.
Soit alors P = −15P 2 + 10P 3 + 6P 5 . On a P ≡ P i mod i, pour i = 2, 3, 5.
Comme P est irréductible sur Q, car sa réduction modulo 2 l’est sur F 2 , il est
à racines simples dans C. D’après le théorème (XVI.2.3), on sait que Gal(P )
contient un n − 1-cycle (à cause du facteur Q) et le produit d’une transposition et
d’un n − 2-cycle (facteurs R et S), donc une transposition (prendre une puissance
convenable de ce produit). On en déduit que Gal(P ) est isomorphe à S n , car un
sous-groupe transitif de S n qui contient une transposition et un n − 1-cycle est
S n tout entier.
En utilisant le théorème de Cayley, on obtient comme corollaire de ce qui
précède que tout groupe fini G est groupe de Galois d’une extension de corps
de nombres. Par contre, on ne sait pas si ce résultat est vrai pour une extension
K/Q seulement, en dehors des cas où G est de l’un des types suivants : les groupes
abéliens, S n , A n , les groupes résolubles (démonstration très difficile) et certains
groupes P SL 2 (F p ). Le « problème de Galois inverse », comme on l’appelle (i.e.
étant donné un groupe fini G, est-il le groupe de Galois d’une extension finie ?)
est un problème difficile.
Ce qui précède montre que, pour tout n 5, il existe au moins un polynôme
de degré n non résoluble par radicaux, d’où l’impossibilité d’une résolution générale par radicaux des équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 5.
Cependant, cela ne signifie pas que tous les polynômes de degré n ne soient pas résolubles par radicaux. On est donc amené à se poser la question suivante : peut-on
caractériser les polynômes résolubles par radicaux ?
XVI.3. Caractérisation des polynômes résolubles
Théorème XVI.3.1. Soient K un corps de caractéristique nulle et L/K une extension finie normale dont le groupe de Galois est résoluble. Alors, il existe une
extension E/L telle que E/K soit radicale.
Démonstration. Soit G = Gal(L/K) : on fait un raisonnement par récurrence sur
l’ordre de G. Si |G| = 1, c’est évident. Supposons que |G| = 1 et le théorème
vrai pour tout groupe d’ordre strictement inférieur à celui de G. Puisque G est
fini, il possède un sous-groupe normal maximal H. Le groupe quotient G/H est
simple et résoluble, il est donc cyclique d’ordre premier p (proposition VII.4.1).
406