XVI.3. Caractérisation des polynômes résolubles
Soit N un corps de décomposition de X p − 1 sur L. Puisque l’extension L/K
est finie, on a L = K(α 1 , . . . , α n ) ; puisqu’elle est normale, L est un corps de
décomposition sur K du polynôme f (X) =
i M α i (X). Par conséquent, N est
un corps de décomposition sur K du polynôme (X p − 1)f (X) et l’extension N/K
est normale. On a donc la situation K ⊂ L ⊂ N avec L/K et N/K galoisiennes
finies. On sait alors que Gal(L/K) Gal(N/K)/Gal(N/L) (théorème XIV.3.2).
Or, d’après la proposition (XV.2.1), Gal(N/L) est abélien, donc résoluble. On
déduit du théorème (VII.3.1) que Gal(N/K) est résoluble.
Soit M le sous-corps de N engendré par K et les racines de X p − 1. Alors
l’extension M/K est radicale. Pour prouver le théorème, il suffit donc de montrer
qu’il existe une extension E de N telle que E/M soit radicale ; on aura ainsi une
extension E de L telle que E/K soit radicale.
Montrons que le groupe Gal(N/M ) est isomorphe à un sous-groupe de G. À
σ ∈ Gal(N/M ) on associe σ |L sa restriction à L. C’est un K-homomorphisme
et, puisque L/K est normale, σ |L ∈ G. On a donc un morphisme de groupes
ϕ : Gal(N/M ) −→ G défini par ϕ(σ) = σ |L . Si ϕ(σ) = id |L , σ est un automorphisme de N qui laisse invariants les éléments de L et M . Or, ces éléments engendrent N , d’où ϕ(σ) = id |L implique σ = id |N et ϕ est injective. Ce qui prouve
que Gal(N/M ) est isomorphe à un sous-groupe J de G.
Si J est un sous-groupe propre de G, par hypothèse de récurrence, il existe
une extension E de N telle que E/M soit radicale, d’où le résultat.
Supposons que J = G ; en posant I = ϕ −1 (H), I est un sous-groupe normal
de Gal(N/M ) qui est d’indice p. Soit R le corps des invariants de N sous l’action
de I. L’extension N/R est normale et son groupe de Galois est d’ordre inférieur à
celui de G, donc, par hypothèse de récurrence, il existe une extension E de N telle
que E/R soit radicale. Mais d’après les théorèmes fondamentaux de la théorie de
Galois, on a [R : M ] = p premier et l’extension R/M est galoisienne. Puisque M
contient les racines p-ième de l’unité, on sait (théorème XV.5.2), que R = M (α),
avec α p ∈ M . On en déduit que l’extension E/M est radicale. D’où le théorème.
Les théorèmes XVI.2.1 et XVI.3.1 montrent que si K est un corps de caractéristique nulle, un polynôme f (X) de K[X] est résoluble par radicaux si et
seulement si son groupe de Galois est résoluble.
Exercice XVI.3.
a) Montrer que le groupe de Galois de tout polynôme à coefficients dans un
corps fini est résoluble.
b) Montrer le polynôme X 2 + X + 1 sur F 2 n’est pas résoluble par radicaux.
Cet exercice est un contre-exemple au résultat du théorème (XVI.2.1) dans le
cas de la caractéristique non nulle.
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Soit N un corps de décomposition de X p − 1 sur L. Puisque l’extension L/K
est finie, on a L = K(α 1 , . . . , α n ) ; puisqu’elle est normale, L est un corps de
décomposition sur K du polynôme f (X) =
i M α i (X). Par conséquent, N est
un corps de décomposition sur K du polynôme (X p − 1)f (X) et l’extension N/K
est normale. On a donc la situation K ⊂ L ⊂ N avec L/K et N/K galoisiennes
finies. On sait alors que Gal(L/K) Gal(N/K)/Gal(N/L) (théorème XIV.3.2).
Or, d’après la proposition (XV.2.1), Gal(N/L) est abélien, donc résoluble. On
déduit du théorème (VII.3.1) que Gal(N/K) est résoluble.
Soit M le sous-corps de N engendré par K et les racines de X p − 1. Alors
l’extension M/K est radicale. Pour prouver le théorème, il suffit donc de montrer
qu’il existe une extension E de N telle que E/M soit radicale ; on aura ainsi une
extension E de L telle que E/K soit radicale.
Montrons que le groupe Gal(N/M ) est isomorphe à un sous-groupe de G. À
σ ∈ Gal(N/M ) on associe σ |L sa restriction à L. C’est un K-homomorphisme
et, puisque L/K est normale, σ |L ∈ G. On a donc un morphisme de groupes
ϕ : Gal(N/M ) −→ G défini par ϕ(σ) = σ |L . Si ϕ(σ) = id |L , σ est un automorphisme de N qui laisse invariants les éléments de L et M . Or, ces éléments engendrent N , d’où ϕ(σ) = id |L implique σ = id |N et ϕ est injective. Ce qui prouve
que Gal(N/M ) est isomorphe à un sous-groupe J de G.
Si J est un sous-groupe propre de G, par hypothèse de récurrence, il existe
une extension E de N telle que E/M soit radicale, d’où le résultat.
Supposons que J = G ; en posant I = ϕ −1 (H), I est un sous-groupe normal
de Gal(N/M ) qui est d’indice p. Soit R le corps des invariants de N sous l’action
de I. L’extension N/R est normale et son groupe de Galois est d’ordre inférieur à
celui de G, donc, par hypothèse de récurrence, il existe une extension E de N telle
que E/R soit radicale. Mais d’après les théorèmes fondamentaux de la théorie de
Galois, on a [R : M ] = p premier et l’extension R/M est galoisienne. Puisque M
contient les racines p-ième de l’unité, on sait (théorème XV.5.2), que R = M (α),
avec α p ∈ M . On en déduit que l’extension E/M est radicale. D’où le théorème.
Les théorèmes XVI.2.1 et XVI.3.1 montrent que si K est un corps de caractéristique nulle, un polynôme f (X) de K[X] est résoluble par radicaux si et
seulement si son groupe de Galois est résoluble.
Exercice XVI.3.
a) Montrer que le groupe de Galois de tout polynôme à coefficients dans un
corps fini est résoluble.
b) Montrer le polynôme X 2 + X + 1 sur F 2 n’est pas résoluble par radicaux.
Cet exercice est un contre-exemple au résultat du théorème (XVI.2.1) dans le
cas de la caractéristique non nulle.
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