XVI.2. Résolubilité des polynômes
On notera que cet énoncé est équivalent à : il existe un polynôme irréductible
de Q[X], de degré n, dont le groupe de Galois est S n .
La preuve est basée sur le théorème suivant.
Théorème XVI.2.3. Soient P ∈ Z[X] un polynôme unitaire à racines simples (dans
C) et p un nombre premier tels que la réduction P de P modulo p soit également à racines simples (dans F p ), alors Gal(P ) est isomorphe à un sous-groupe
de Gal(P ).
Démonstration. Soit K = Q(x i ) le corps de décomposition du polynôme P (dans
C), où x i sont les racines, et soit A = Z[x i ]. Alors A est un anneau dont le corps
des fractions est K et A est, comme groupe abélien, libre de type fini de rang
n = [K : Q]. En effet, l’ensemble {
x
n i
i } n i n engendre A (on utilise le fait que
P est unitaire) et A est sans torsion. Une base de A, comme groupe abélien libre,
est une base de K comme Q-espace vectoriel, d’où le résultat sur le rang.
On vérifie facilement que l’application de restriction à A définit un isomorphisme entre Gal(K/Q) et le groupe Aut(A) des automorphismes de l’anneau A.
D’autre part, soit K p le corps de décomposition de P (dans F p ). Soit m un
idéal maximal de A contenant p et soit φ : A → A/m le morphisme de passage
au quotient. Alors φ(Z) s’identifie à Z/pZ (car φ(p) = 0) et les φ(x i ) engendrent
A/m sur F p . Or φ(P ) = P =
(x − φ(x i )), donc A/m s’identifie à K p . Ainsi φ
définit un morphisme d’anneaux A → K p .
Notons Hom(A, K p ) l’ensemble des morphismes d’anneaux de A dans K p et
démontrons que Hom(A, K p ) = {φ ◦ σ, σ ∈ Aut(A)}. Ces éléments sont deux
à deux distincts car les φ(x i ) le sont (les racines de P sont supposées simples).
D’autre part, un élément de Hom(A, K p ) se prolonge de façon unique en un élément de Hom(K, K p ) (propriété universelle du corps des fractions) et ces éléments
sont linéairement indépendants sur K p . Donc la dimension du K p -espace vectoriel
Hom groupe (A, K p ) (Hom(A, K p ) n’est pas un espace vectoriel car les morphismes
d’anneaux ne sont pas stables par multiplication par un scalaire) est supérieure
ou égale au cardinal de Hom(A, K p ). Or A est un groupe abélien libre de rang
[K : Q] ; un morphisme de groupes A → K p est déterminé par l’image d’une base
de A, donc le rang sur K p est au plus [K : Q]. Cela montre que Hom(A, K p ) est
au plus de cardinal [K : Q], autrement dit que tous les éléments sont là.
Démontrons enfin le théorème : soit σ ∈ Gal(P ). On a vu qu’il existe un
unique σ ∈ Aut(A) tel que σ ◦ φ = φ ◦ σ. Alors Ψ : σ → σ est un morphisme
injectif de groupes :
σ 1 ◦ σ 2 ◦ φ = σ 1 ◦ φ ◦ Ψ(σ 2 ) = φ ◦ Ψ(σ 1 ) ◦ Ψ(σ 2 ),
d’où Ψ(σ 1 ◦ σ 2 ) = Ψ(σ 1 ) ◦ Ψ(σ 2 ) par unicité. L’injectivité provient du fait que si
σ ◦ φ = φ, alors σ laisse fixes tous les φ(x i ), donc σ est l’identité.
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On notera que cet énoncé est équivalent à : il existe un polynôme irréductible
de Q[X], de degré n, dont le groupe de Galois est S n .
La preuve est basée sur le théorème suivant.
Théorème XVI.2.3. Soient P ∈ Z[X] un polynôme unitaire à racines simples (dans
C) et p un nombre premier tels que la réduction P de P modulo p soit également à racines simples (dans F p ), alors Gal(P ) est isomorphe à un sous-groupe
de Gal(P ).
Démonstration. Soit K = Q(x i ) le corps de décomposition du polynôme P (dans
C), où x i sont les racines, et soit A = Z[x i ]. Alors A est un anneau dont le corps
des fractions est K et A est, comme groupe abélien, libre de type fini de rang
n = [K : Q]. En effet, l’ensemble {
x
n i
i } n i n engendre A (on utilise le fait que
P est unitaire) et A est sans torsion. Une base de A, comme groupe abélien libre,
est une base de K comme Q-espace vectoriel, d’où le résultat sur le rang.
On vérifie facilement que l’application de restriction à A définit un isomorphisme entre Gal(K/Q) et le groupe Aut(A) des automorphismes de l’anneau A.
D’autre part, soit K p le corps de décomposition de P (dans F p ). Soit m un
idéal maximal de A contenant p et soit φ : A → A/m le morphisme de passage
au quotient. Alors φ(Z) s’identifie à Z/pZ (car φ(p) = 0) et les φ(x i ) engendrent
A/m sur F p . Or φ(P ) = P =
(x − φ(x i )), donc A/m s’identifie à K p . Ainsi φ
définit un morphisme d’anneaux A → K p .
Notons Hom(A, K p ) l’ensemble des morphismes d’anneaux de A dans K p et
démontrons que Hom(A, K p ) = {φ ◦ σ, σ ∈ Aut(A)}. Ces éléments sont deux
à deux distincts car les φ(x i ) le sont (les racines de P sont supposées simples).
D’autre part, un élément de Hom(A, K p ) se prolonge de façon unique en un élément de Hom(K, K p ) (propriété universelle du corps des fractions) et ces éléments
sont linéairement indépendants sur K p . Donc la dimension du K p -espace vectoriel
Hom groupe (A, K p ) (Hom(A, K p ) n’est pas un espace vectoriel car les morphismes
d’anneaux ne sont pas stables par multiplication par un scalaire) est supérieure
ou égale au cardinal de Hom(A, K p ). Or A est un groupe abélien libre de rang
[K : Q] ; un morphisme de groupes A → K p est déterminé par l’image d’une base
de A, donc le rang sur K p est au plus [K : Q]. Cela montre que Hom(A, K p ) est
au plus de cardinal [K : Q], autrement dit que tous les éléments sont là.
Démontrons enfin le théorème : soit σ ∈ Gal(P ). On a vu qu’il existe un
unique σ ∈ Aut(A) tel que σ ◦ φ = φ ◦ σ. Alors Ψ : σ → σ est un morphisme
injectif de groupes :
σ 1 ◦ σ 2 ◦ φ = σ 1 ◦ φ ◦ Ψ(σ 2 ) = φ ◦ Ψ(σ 1 ) ◦ Ψ(σ 2 ),
d’où Ψ(σ 1 ◦ σ 2 ) = Ψ(σ 1 ) ◦ Ψ(σ 2 ) par unicité. L’injectivité provient du fait que si
σ ◦ φ = φ, alors σ laisse fixes tous les φ(x i ), donc σ est l’identité.
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