Chapitre XVI. Résolubilité par radicaux des équations polynomiales
XVI.2. Résolubilité des polynômes
Tous les polynômes sont supposés irréductibles.
Définition XVI.2.1.
a) Soient K un corps de caractéristique nulle, f (X) ∈ K[X] et L un corps
de décomposition de f (X) sur K. On dit que l’équation polynomiale f (X) = 0
(ou que le polynôme f (X)) est résoluble par radicaux s’il existe un corps
E contenant L tel que l’extension E/K soit radicale.
b) Si f (X) est un polynôme de K[X], on appelle groupe de Galois de
f , le groupe Gal(L/K), où L est un corps de décomposition de f sur K.
Remarque XVI.2.1.
a) Dans la définition a) ci-dessus, on suppose que le corps K est de caractéristique nulle à cause de la remarque (XVI.1.1.a) et on introduit le corps E car il
se peut que l’extension L/K ne soit pas radicale.
b) La partie a) de cette définition exprime que toutes les racines de f (X)
s’écrivent à l’aide de radicaux. Mais il est vain d’espérer que tout ce qui est
exprimable par des radicaux donnés soit dans le corps de décomposition L de f
sur K.
c) On sait (théorème XII.1.1.(ii)) que si L et L sont deux corps de décomposition de f sur K, ils sont K-isomorphes. Par conséquent, les groupes Gal(L/K)
et Gal(L /K) sont isomorphes (mais pas égaux). Le groupe de Galois de f est
donc défini à isomorphisme près.
Exercice XVI.1. Soient K un corps et f (X) ∈ K[X] un polynôme irréductible.
Montrer que si une racine de f (X) s’exprime par radicaux, il en est de même
pour toutes ses racines. L’équation f (X) = 0 est alors résoluble par radicaux.
On obtient immédiatement, à partir du théorème XVI.1.2, le théorème suivant.
Théorème XVI.2.1. Soit f (X) un polynôme à coefficients dans un corps K de caractéristique nulle. Si f (X) est résoluble par radicaux, son groupe de Galois Gal(f )
est résoluble.
Par conséquent, pour prouver que les polynômes de degré supérieur ou égal à
5 ne sont pas résolubles par radicaux, il suffit, pour chaque n 5, d’exhiber un
polynôme de degré n dont le groupe de Galois ne soit pas résoluble.
Nous allons d’abord traiter le cas où n est un nombre premier et fournir un
exemple explicite pour n = 5, puis nous traiterons le cas général.
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XVI.2. Résolubilité des polynômes
Tous les polynômes sont supposés irréductibles.
Définition XVI.2.1.
a) Soient K un corps de caractéristique nulle, f (X) ∈ K[X] et L un corps
de décomposition de f (X) sur K. On dit que l’équation polynomiale f (X) = 0
(ou que le polynôme f (X)) est résoluble par radicaux s’il existe un corps
E contenant L tel que l’extension E/K soit radicale.
b) Si f (X) est un polynôme de K[X], on appelle groupe de Galois de
f , le groupe Gal(L/K), où L est un corps de décomposition de f sur K.
Remarque XVI.2.1.
a) Dans la définition a) ci-dessus, on suppose que le corps K est de caractéristique nulle à cause de la remarque (XVI.1.1.a) et on introduit le corps E car il
se peut que l’extension L/K ne soit pas radicale.
b) La partie a) de cette définition exprime que toutes les racines de f (X)
s’écrivent à l’aide de radicaux. Mais il est vain d’espérer que tout ce qui est
exprimable par des radicaux donnés soit dans le corps de décomposition L de f
sur K.
c) On sait (théorème XII.1.1.(ii)) que si L et L sont deux corps de décomposition de f sur K, ils sont K-isomorphes. Par conséquent, les groupes Gal(L/K)
et Gal(L /K) sont isomorphes (mais pas égaux). Le groupe de Galois de f est
donc défini à isomorphisme près.
Exercice XVI.1. Soient K un corps et f (X) ∈ K[X] un polynôme irréductible.
Montrer que si une racine de f (X) s’exprime par radicaux, il en est de même
pour toutes ses racines. L’équation f (X) = 0 est alors résoluble par radicaux.
On obtient immédiatement, à partir du théorème XVI.1.2, le théorème suivant.
Théorème XVI.2.1. Soit f (X) un polynôme à coefficients dans un corps K de caractéristique nulle. Si f (X) est résoluble par radicaux, son groupe de Galois Gal(f )
est résoluble.
Par conséquent, pour prouver que les polynômes de degré supérieur ou égal à
5 ne sont pas résolubles par radicaux, il suffit, pour chaque n 5, d’exhiber un
polynôme de degré n dont le groupe de Galois ne soit pas résoluble.
Nous allons d’abord traiter le cas où n est un nombre premier et fournir un
exemple explicite pour n = 5, puis nous traiterons le cas général.
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