XVI.2. Résolubilité des polynômes
Proposition XVI.2.1. Soient p un nombre premier et f (X) ∈ Q[X] un polynôme
irréductible de degré p. Si le polynôme f (X) a exactement deux racines complexes
non réelles, le groupe de Galois de f (X) est isomorphe au groupe des permutations S p .
Démonstration. Dans le corps C, le polynôme f (X) est scindé et toutes ses racines
sont simples. Le groupe de Galois Gal(f ) est donc un sous-groupe de S p . Si on
note E ⊂ C un corps de décomposition de f (X) sur Q, [E : Q] est divisible par
p. Par conséquent, p divise l’ordre de Gal(f ) et, puisque p est premier, d’après le
premier théorème de Sylow, le groupe Gal(f ) possède un élément d’ordre p. Les
seuls éléments d’ordre p de S p sont les p-cycles. Donc Gal(f ) contient un p-cycle.
D’autre part, la conjugaison complexe dans C induit un Q-automorphisme de E
qui laisse fixes les p − 2 racines réelles et échange les deux racines complexes. Donc
Gal(f ) contient un 2-cycle. On peut supposer, sans restreindre la généralité, que
Gal(f ) contient le 2-cycle (1, 2) et le p-cycle (1, 2, . . . , p) (quitte à renuméroter les
racines et remplacer le p-cycle par l’une de ses puissances). On sait que ces deux
éléments engendrent S p (TR.I.A). D’où Gal(f ) = S p .
On sait (corollaire VII.4.1), que pour n 5 le groupe S n n’est pas résoluble.
Il suffit donc de donner un exemple d’un polynôme f (X) ∈ Q[X] vérifiant les
hypothèses de la proposition (XVI.2.1), avec p = 5.
Corollaire XVI.2.1. Le polynôme X 5 − 6X + 3 ∈ Q[X] n’est pas résoluble par radicaux.
Démonstration. D’après le critère d’Eisenstein, f (X) est irréductible sur Q. Il suffit
donc de montrer que f (X) a exactement trois racines réelles. Une étude élémentaire du graphe de la fonction de R dans R, x → f (x) donne le résultat (on utilise
le théorème des valeurs intermédiaires pour séparer les racines de f (X) par
4
6/5
qui sont les racines de f (X)).
Nous allons maintenant compléter ces résultats en montrant que, pour tout
entier n > 0, il existe un polynôme dont le groupe de Galois est isomorphe à S n ,
ce qui prouvera le résultat annoncé dans l’introduction de ce chapitre pour les
polynômes de degré supérieur ou égal à 5.
Théorème XVI.2.2. Soient k un corps (sans hypothèse de caractéristique),
t 1 , . . . , t n des éléments transcendants et algébriquement indépendants sur k. Le
groupe de Galois sur k du polynôme
f (X) = X
n
− t 1 X
n−1 + . . . + (−1)
i t i X
n−i + . . . + (−1)
n t n
est isomorphe au groupe S n .
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Proposition XVI.2.1. Soient p un nombre premier et f (X) ∈ Q[X] un polynôme
irréductible de degré p. Si le polynôme f (X) a exactement deux racines complexes
non réelles, le groupe de Galois de f (X) est isomorphe au groupe des permutations S p .
Démonstration. Dans le corps C, le polynôme f (X) est scindé et toutes ses racines
sont simples. Le groupe de Galois Gal(f ) est donc un sous-groupe de S p . Si on
note E ⊂ C un corps de décomposition de f (X) sur Q, [E : Q] est divisible par
p. Par conséquent, p divise l’ordre de Gal(f ) et, puisque p est premier, d’après le
premier théorème de Sylow, le groupe Gal(f ) possède un élément d’ordre p. Les
seuls éléments d’ordre p de S p sont les p-cycles. Donc Gal(f ) contient un p-cycle.
D’autre part, la conjugaison complexe dans C induit un Q-automorphisme de E
qui laisse fixes les p − 2 racines réelles et échange les deux racines complexes. Donc
Gal(f ) contient un 2-cycle. On peut supposer, sans restreindre la généralité, que
Gal(f ) contient le 2-cycle (1, 2) et le p-cycle (1, 2, . . . , p) (quitte à renuméroter les
racines et remplacer le p-cycle par l’une de ses puissances). On sait que ces deux
éléments engendrent S p (TR.I.A). D’où Gal(f ) = S p .
On sait (corollaire VII.4.1), que pour n 5 le groupe S n n’est pas résoluble.
Il suffit donc de donner un exemple d’un polynôme f (X) ∈ Q[X] vérifiant les
hypothèses de la proposition (XVI.2.1), avec p = 5.
Corollaire XVI.2.1. Le polynôme X 5 − 6X + 3 ∈ Q[X] n’est pas résoluble par radicaux.
Démonstration. D’après le critère d’Eisenstein, f (X) est irréductible sur Q. Il suffit
donc de montrer que f (X) a exactement trois racines réelles. Une étude élémentaire du graphe de la fonction de R dans R, x → f (x) donne le résultat (on utilise
le théorème des valeurs intermédiaires pour séparer les racines de f (X) par
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qui sont les racines de f (X)).
Nous allons maintenant compléter ces résultats en montrant que, pour tout
entier n > 0, il existe un polynôme dont le groupe de Galois est isomorphe à S n ,
ce qui prouvera le résultat annoncé dans l’introduction de ce chapitre pour les
polynômes de degré supérieur ou égal à 5.
Théorème XVI.2.2. Soient k un corps (sans hypothèse de caractéristique),
t 1 , . . . , t n des éléments transcendants et algébriquement indépendants sur k. Le
groupe de Galois sur k du polynôme
f (X) = X
n
− t 1 X
n−1 + . . . + (−1)
i t i X
n−i + . . . + (−1)
n t n
est isomorphe au groupe S n .
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