XVI.1. Extensions radicales
des éléments supplémentaires α j , on peut supposer que les entiers p(i) tels que
α
p(i)
i
∈ K(α 1 , . . . , α i−1 ) sont premiers.
On fait un raisonnement par récurrence sur n tel que E = K(α 1 , . . . , α n ). Si
n = 1, c’est évident. On suppose le résultat vrai pour n − 1. Si α 1 ∈ K, alors
E = K(α 2 , . . . , α n ) et le résultat est vérifié par hypothèse de récurrence. On peut
donc supposer que α 1 /
∈ K : par hypothèse, il existe un nombre premier p tel que
α
p
1 ∈ K. Soit M α 1 (X) le polynôme minimal de α 1 sur K : d’après les hypothèses,
M α 1 (X) est scindé dans E et toutes ses racines sont simples. Puisque α 1 /
∈ K, le
degré de M α 1 (X) est supérieur ou égal à 2. Soit β = α 1 une racine de M α 1 (X)
dans E : il existe s ∈ Gal(E/K) tel que s(α 1 ) = β, d’où s(α
p
1 ) = β p . Mais α
p
1 ∈ K,
donc s(α
p
1 ) = α
p
1 et on a β p = α
p
1 . Par conséquent, en posant ε = α 1 β −1 , on a
ε = 1 et ε p = 1. De plus, puisque p est premier, on en déduit que 1, ε, . . . , ε p−1
sont des racines distinctes p-ième de l’unité dans E. On pose L = K(ε) : on a ainsi
la suite d’extensions K ⊂ L ⊂ L(α 1 ) ⊂ E. Puisque E/K est galoisienne finie, il
en est de même de E/L. Puisque L contient les racines p-ième de l’unité et que
α
p
1 ∈ L, L(α 1 ) est un corps de décomposition du polynôme X p − α
p
1 sur L. Donc
l’extension L(α 1 )/L est normale et le groupe Gal(E/L(α 1 )) est un sous-groupe
normal du groupe Gal(E/L) ; on a Gal(L(α 1 )/L) Gal(E/L)/Gal(E/L(α 1 )).
Mais E = L(α 1 )(α 2 , . . . , α n ), donc E/L(α 1 ) est une extension radicale et normale, et [E : L(α 1 )] < n. Donc, par hypothèse de récurrence, Gal(E/L(α 1 )) est
résoluble. Mais on sait, (proposition XV.2.1), que Gal(L(α 1 )/L) est abélien, donc
résoluble. On en déduit, (théorème VII.3.1), que Gal(E/L) est résoluble. De la
même façon, L étant un corps de décomposition de X p −1 sur K, l’extension L/K
est normale et Gal(L/K) Gal(E/K)/Gal(E/L). Comme ci-dessus, Gal(L/K)
est abélien, (proposition VII.2.2), donc résoluble et, puisque Gal(E/L) est résoluble, on en déduit que Gal(E/K) est résoluble (théorème VII.3.1).
Théorème XVI.1.2. Soient K un corps de caractéristique nulle et K ⊂ L ⊂ E des
extensions. Si l’extension E/K est radicale, le groupe Gal(L/K) est résoluble.
Démonstration. Soient K 0 le corps des points fixes de L sous Gal(L/K) et N/K 0
une clôture normale de E/K 0 . On a alors la suite d’extensions K ⊂ K 0 ⊂ L ⊂
E ⊂ N . Puisque l’extension E/K est radicale, il en est de même pour E/K 0
et donc aussi, d’après la proposition (XVI.1.1), pour N/K 0 . On déduit alors du
théorème (XVI.1.1) que Gal(N/K 0 ) est résoluble. D’après le théorème (XIV.1.1),
l’extension L/K 0 est normale, d’où Gal(L/K 0 ) Gal(N/K 0 )/Gal(N/L). On en
déduit que le groupe Gal(L/K 0 ) est résoluble. Mais Gal(L/K) = Gal(L/K 0 ),
donc Gal(L/K) est résoluble.
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des éléments supplémentaires α j , on peut supposer que les entiers p(i) tels que
α
p(i)
i
∈ K(α 1 , . . . , α i−1 ) sont premiers.
On fait un raisonnement par récurrence sur n tel que E = K(α 1 , . . . , α n ). Si
n = 1, c’est évident. On suppose le résultat vrai pour n − 1. Si α 1 ∈ K, alors
E = K(α 2 , . . . , α n ) et le résultat est vérifié par hypothèse de récurrence. On peut
donc supposer que α 1 /
∈ K : par hypothèse, il existe un nombre premier p tel que
α
p
1 ∈ K. Soit M α 1 (X) le polynôme minimal de α 1 sur K : d’après les hypothèses,
M α 1 (X) est scindé dans E et toutes ses racines sont simples. Puisque α 1 /
∈ K, le
degré de M α 1 (X) est supérieur ou égal à 2. Soit β = α 1 une racine de M α 1 (X)
dans E : il existe s ∈ Gal(E/K) tel que s(α 1 ) = β, d’où s(α
p
1 ) = β p . Mais α
p
1 ∈ K,
donc s(α
p
1 ) = α
p
1 et on a β p = α
p
1 . Par conséquent, en posant ε = α 1 β −1 , on a
ε = 1 et ε p = 1. De plus, puisque p est premier, on en déduit que 1, ε, . . . , ε p−1
sont des racines distinctes p-ième de l’unité dans E. On pose L = K(ε) : on a ainsi
la suite d’extensions K ⊂ L ⊂ L(α 1 ) ⊂ E. Puisque E/K est galoisienne finie, il
en est de même de E/L. Puisque L contient les racines p-ième de l’unité et que
α
p
1 ∈ L, L(α 1 ) est un corps de décomposition du polynôme X p − α
p
1 sur L. Donc
l’extension L(α 1 )/L est normale et le groupe Gal(E/L(α 1 )) est un sous-groupe
normal du groupe Gal(E/L) ; on a Gal(L(α 1 )/L) Gal(E/L)/Gal(E/L(α 1 )).
Mais E = L(α 1 )(α 2 , . . . , α n ), donc E/L(α 1 ) est une extension radicale et normale, et [E : L(α 1 )] < n. Donc, par hypothèse de récurrence, Gal(E/L(α 1 )) est
résoluble. Mais on sait, (proposition XV.2.1), que Gal(L(α 1 )/L) est abélien, donc
résoluble. On en déduit, (théorème VII.3.1), que Gal(E/L) est résoluble. De la
même façon, L étant un corps de décomposition de X p −1 sur K, l’extension L/K
est normale et Gal(L/K) Gal(E/K)/Gal(E/L). Comme ci-dessus, Gal(L/K)
est abélien, (proposition VII.2.2), donc résoluble et, puisque Gal(E/L) est résoluble, on en déduit que Gal(E/K) est résoluble (théorème VII.3.1).
Théorème XVI.1.2. Soient K un corps de caractéristique nulle et K ⊂ L ⊂ E des
extensions. Si l’extension E/K est radicale, le groupe Gal(L/K) est résoluble.
Démonstration. Soient K 0 le corps des points fixes de L sous Gal(L/K) et N/K 0
une clôture normale de E/K 0 . On a alors la suite d’extensions K ⊂ K 0 ⊂ L ⊂
E ⊂ N . Puisque l’extension E/K est radicale, il en est de même pour E/K 0
et donc aussi, d’après la proposition (XVI.1.1), pour N/K 0 . On déduit alors du
théorème (XVI.1.1) que Gal(N/K 0 ) est résoluble. D’après le théorème (XIV.1.1),
l’extension L/K 0 est normale, d’où Gal(L/K 0 ) Gal(N/K 0 )/Gal(N/L). On en
déduit que le groupe Gal(L/K 0 ) est résoluble. Mais Gal(L/K) = Gal(L/K 0 ),
donc Gal(L/K) est résoluble.
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