Chapitre XVI. Résolubilité par radicaux des équations polynomiales
Remarque XVI.1.1.
a) La définition d’une extension radicale donnée ci-dessus n’est valable que
dans le cas de la caractéristique nulle. C’est la raison de l’avertissement placé en
tête de ce chapitre, certains résultats établis ci-dessous n’étant plus valables en
caractéristique strictement positive.
b) Considérons K ⊂ L ⊂ E : alors, si L/K et E/L sont radicales, il en est
de même pour E/K. Mais il se peut que E/K soit radicale et L/K non radicale,
comme le montre l’exemple suivant.
Soient E = Q(e 2iπ/7 ) et L = Q(α) avec α = cos(2π/7). Le polynôme minimal
de α sur K = Q est M α (X) = X 3 + X 2 /2 − X/2 − 1/8. Si L/Q était radicale,
alors L = Q(β), où β 3 = b ∈ Q. Or X 3 − b = (X − β)(X − jβ)(X − j 2 β), donc
L contiendrait j, ce qui est en contradiction avec le fait que L est une extension
réelle de Q.
On peut remarquer que L est le corps de décomposition du polynôme
P (X) = (X − α)(X − (2α 2 − 1))(X − (−2α 2 − α + 1/2)). L’extension L/Q est
donc galoisienne, mais non radicale, bien que l’équation P (X) = 0 soit résoluble
par radicaux.
Proposition XVI.1.1. Si E/K est une extension radicale et si N/K est une clôture
normale de E/K, alors N/K est radicale.
Démonstration. Soient E = K(α 1 , . . . , α n ) et M α i (X) les polynômes minimaux des
α i sur K. Alors N est le corps de décomposition du polynôme f (X) =
i M α i (X)
dans une clôture algébrique de E (proposition XIII.2.4). Pour chaque zéro β ij de
f (X) dans N , il existe un K(α 1 , . . . , α i−1 )-isomorphisme
σ ij : K(α 1 , . . . , α i−1 , α i ) −→ K(α 1 , . . . , α i−1 , β ij ), σ ij (α i ) = β ij .
Puisqu’il existe p(i) tel que α
p(i)
i
∈ K(α 1 , . . . , α i−1 ), il en est de même pour β ij
et l’extension N/K est radicale.
Remarque XVI.1.2. Puisque K est un corps de caractéristique nulle, cette proposition montre qu’une extension radicale de K peut être plongée dans une extension
radicale galoisienne.
Théorème XVI.1.1. Si K est un corps de caractéristique nulle et si E/K est une
extension normale et radicale, le groupe de Galois Gal(E/K) est résoluble.
Démonstration. On remarquera que, puisque K est de caractéristique nulle et
que E/K est normale, l’extension E/K est galoisienne finie. Quitte à adjoindre
400
Remarque XVI.1.1.
a) La définition d’une extension radicale donnée ci-dessus n’est valable que
dans le cas de la caractéristique nulle. C’est la raison de l’avertissement placé en
tête de ce chapitre, certains résultats établis ci-dessous n’étant plus valables en
caractéristique strictement positive.
b) Considérons K ⊂ L ⊂ E : alors, si L/K et E/L sont radicales, il en est
de même pour E/K. Mais il se peut que E/K soit radicale et L/K non radicale,
comme le montre l’exemple suivant.
Soient E = Q(e 2iπ/7 ) et L = Q(α) avec α = cos(2π/7). Le polynôme minimal
de α sur K = Q est M α (X) = X 3 + X 2 /2 − X/2 − 1/8. Si L/Q était radicale,
alors L = Q(β), où β 3 = b ∈ Q. Or X 3 − b = (X − β)(X − jβ)(X − j 2 β), donc
L contiendrait j, ce qui est en contradiction avec le fait que L est une extension
réelle de Q.
On peut remarquer que L est le corps de décomposition du polynôme
P (X) = (X − α)(X − (2α 2 − 1))(X − (−2α 2 − α + 1/2)). L’extension L/Q est
donc galoisienne, mais non radicale, bien que l’équation P (X) = 0 soit résoluble
par radicaux.
Proposition XVI.1.1. Si E/K est une extension radicale et si N/K est une clôture
normale de E/K, alors N/K est radicale.
Démonstration. Soient E = K(α 1 , . . . , α n ) et M α i (X) les polynômes minimaux des
α i sur K. Alors N est le corps de décomposition du polynôme f (X) =
i M α i (X)
dans une clôture algébrique de E (proposition XIII.2.4). Pour chaque zéro β ij de
f (X) dans N , il existe un K(α 1 , . . . , α i−1 )-isomorphisme
σ ij : K(α 1 , . . . , α i−1 , α i ) −→ K(α 1 , . . . , α i−1 , β ij ), σ ij (α i ) = β ij .
Puisqu’il existe p(i) tel que α
p(i)
i
∈ K(α 1 , . . . , α i−1 ), il en est de même pour β ij
et l’extension N/K est radicale.
Remarque XVI.1.2. Puisque K est un corps de caractéristique nulle, cette proposition montre qu’une extension radicale de K peut être plongée dans une extension
radicale galoisienne.
Théorème XVI.1.1. Si K est un corps de caractéristique nulle et si E/K est une
extension normale et radicale, le groupe de Galois Gal(E/K) est résoluble.
Démonstration. On remarquera que, puisque K est de caractéristique nulle et
que E/K est normale, l’extension E/K est galoisienne finie. Quitte à adjoindre
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