XVI
RÉSOLUBILITÉ PAR RADICAUX
DES ÉQUATIONS POLYNOMIALES
Dans tout ce chapitre, K sera un corps de caractéristique nulle.
On connaît une formule explicite donnant les racines d’un polynôme du second
degré à coefficients réels (par exemple), au moyen d’une racine carrée. On sait qu’il
existe des formules analogues pour les polynômes du troisième et du quatrième
degré (cf. TR.XVI.A). On dit que ces équations polynomiales sont résolubles
par radicaux.
Le but de ce chapitre est de montrer que ces cas sont les seuls pour lesquels
c’est possible. Plus précisément, on montrera que, si n 5, il ne peut exister
une formule générale (i.e. valable pour tous les polynômes) exprimant, à l’aide de
radicaux (i.e. k
√ ), toutes les racines d’un polynôme de degré n en une variable.
De plus, on montrera qu’une équation polynomiale f (X) = 0 est résoluble par
radicaux si et seulement si le groupe de Galois de f est résoluble.
Pour ce faire, nous allons d’abord formaliser le problème, puis le résoudre à
l’aide de la théorie de Galois.
XVI.1. Extensions radicales
Définition XVI.1.1. Une extension E/K est radicale si E = K(α 1 , . . . , α n ) et,
pour tout i, i = 1, . . . , n, il existe un entier p(i) tel que α
p(i)
i
∈ K(α 1 , . . . , α i−1 ).
On dit alors que les α i forment une suite de radicaux de l’extension E/K.
RÉSOLUBILITÉ PAR RADICAUX
DES ÉQUATIONS POLYNOMIALES
Dans tout ce chapitre, K sera un corps de caractéristique nulle.
On connaît une formule explicite donnant les racines d’un polynôme du second
degré à coefficients réels (par exemple), au moyen d’une racine carrée. On sait qu’il
existe des formules analogues pour les polynômes du troisième et du quatrième
degré (cf. TR.XVI.A). On dit que ces équations polynomiales sont résolubles
par radicaux.
Le but de ce chapitre est de montrer que ces cas sont les seuls pour lesquels
c’est possible. Plus précisément, on montrera que, si n 5, il ne peut exister
une formule générale (i.e. valable pour tous les polynômes) exprimant, à l’aide de
radicaux (i.e. k
√ ), toutes les racines d’un polynôme de degré n en une variable.
De plus, on montrera qu’une équation polynomiale f (X) = 0 est résoluble par
radicaux si et seulement si le groupe de Galois de f est résoluble.
Pour ce faire, nous allons d’abord formaliser le problème, puis le résoudre à
l’aide de la théorie de Galois.
XVI.1. Extensions radicales
Définition XVI.1.1. Une extension E/K est radicale si E = K(α 1 , . . . , α n ) et,
pour tout i, i = 1, . . . , n, il existe un entier p(i) tel que α
p(i)
i
∈ K(α 1 , . . . , α i−1 ).
On dit alors que les α i forment une suite de radicaux de l’extension E/K.