Thèmes de réflexion
1. Montrer que α n’est pas une puissance de p dans K(α). (On suppose que
α = β p , β ∈ K(α) et, en utilisant la norme N K(α)/K , on montre qu’on aboutit à
une contradiction.)
On suppose le théorème vrai si n est une puissance de p. Alors X p r − a est
irréductible sur K(α).
2. Montrer que le polynôme X n − a est irréductible sur K. (On note y une racine
de X p r − α et on considère la suite d’extensions K ⊂ K(α) ⊂ K(y).)
Deuxième étape. On suppose maintenant que n = p r et que p est la caractéristique de K.
3. Soit α une racine p-ième de a. Montrer que α n’est pas une puissance de p dans
K(α). En déduire, par récurrence, que X p r − a est irréductible sur K.
On suppose que p n’est pas égal à la caractéristique de K et que r 2.
Soit α une racine de X p − a ; on a X p − a =
i=p
i=1 (X − a i ), avec a 1 = α et
(X p r − a) =
i=m
i=1 (X p r−1 − a i ).
Supposons que α n’est pas une puissance de p dans K(α). Soit y une racine
de X p r−1 − α.
4. Montrer que si p est impair, y est de degré p r sur K et conclure.
5. Montrer qu’il en est de même si p = 2. (On suppose que α = −4β 4 , avec
β ∈ K(α), d’où −a = N K(α)/K (α) = 16N K(α)/K (β) 4 , d’où une contradiction.)
Supposons que α = β p , avec β ∈ K(α). On a
−a = (−1)
p N K(α)/K (α) = (−1)
p N K(α)/K (β
p ) = (−1)
p N K(α)/K (β)
p .
6. Montrer qu’alors p ne peut être impair.
On a donc forcément p = 2, d’où −a = N K(α)/K (β) 2 est un carré dans K.
7. En déduire que −1 n’est pas un carré dans K.
On a donc une décomposition sur K(i) (i 2 = −1),
X
2 r − a = (X
2 r−1 + ib)(X
2 r−1 − ib).
8. En déduire le résultat. (Si les facteurs (X 2 r−1 ib) sont réductibles, on montre
que ib est un carré dans K(i), d’où une contradiction.)
Nous allons maintenant déduire du théorème (XV.C.1) ci-dessus le résultat
suivant :
Théorème (XV.C.2). Soit K un corps tel qu’une clôture algébrique K de K soit
une extension de K de degré fini strictement supérieur à 1. Alors K = K(i)
(i 2 = −1), et K est de caractéristique nulle.
385
1. Montrer que α n’est pas une puissance de p dans K(α). (On suppose que
α = β p , β ∈ K(α) et, en utilisant la norme N K(α)/K , on montre qu’on aboutit à
une contradiction.)
On suppose le théorème vrai si n est une puissance de p. Alors X p r − a est
irréductible sur K(α).
2. Montrer que le polynôme X n − a est irréductible sur K. (On note y une racine
de X p r − α et on considère la suite d’extensions K ⊂ K(α) ⊂ K(y).)
Deuxième étape. On suppose maintenant que n = p r et que p est la caractéristique de K.
3. Soit α une racine p-ième de a. Montrer que α n’est pas une puissance de p dans
K(α). En déduire, par récurrence, que X p r − a est irréductible sur K.
On suppose que p n’est pas égal à la caractéristique de K et que r 2.
Soit α une racine de X p − a ; on a X p − a =
i=p
i=1 (X − a i ), avec a 1 = α et
(X p r − a) =
i=m
i=1 (X p r−1 − a i ).
Supposons que α n’est pas une puissance de p dans K(α). Soit y une racine
de X p r−1 − α.
4. Montrer que si p est impair, y est de degré p r sur K et conclure.
5. Montrer qu’il en est de même si p = 2. (On suppose que α = −4β 4 , avec
β ∈ K(α), d’où −a = N K(α)/K (α) = 16N K(α)/K (β) 4 , d’où une contradiction.)
Supposons que α = β p , avec β ∈ K(α). On a
−a = (−1)
p N K(α)/K (α) = (−1)
p N K(α)/K (β
p ) = (−1)
p N K(α)/K (β)
p .
6. Montrer qu’alors p ne peut être impair.
On a donc forcément p = 2, d’où −a = N K(α)/K (β) 2 est un carré dans K.
7. En déduire que −1 n’est pas un carré dans K.
On a donc une décomposition sur K(i) (i 2 = −1),
X
2 r − a = (X
2 r−1 + ib)(X
2 r−1 − ib).
8. En déduire le résultat. (Si les facteurs (X 2 r−1 ib) sont réductibles, on montre
que ib est un carré dans K(i), d’où une contradiction.)
Nous allons maintenant déduire du théorème (XV.C.1) ci-dessus le résultat
suivant :
Théorème (XV.C.2). Soit K un corps tel qu’une clôture algébrique K de K soit
une extension de K de degré fini strictement supérieur à 1. Alors K = K(i)
(i 2 = −1), et K est de caractéristique nulle.
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